電腦模擬：與時間無關的薛丁格方程式 － 束縛態的能階與波函數
量子力學裏的基本規則
機率解釋
波動方程式
可觀量算符
詳見 : 量子力學複習
與時間無關的薛丁格方程式
位勢與時間無關下的特例
數學技巧：分離變數
與時間無關的方程式
對於位勢不隨時間而改變的薛丁格方程式， 我們已經知道它是可以被改寫簡化成（時間變數分離出來）為一個本徵值型的二階微分方程式
- h2/2m ▽2 φ(x) + V(x)φ(x) = E φ(x)
注意其中 E 與 φ (x) 皆為未知。 當我們要用電腦計算的方法來求一個微分方程的數值解，就是等於要積分上式中帶有微分符號的部分，使未知函數變為已知。
這樣的一個問題裏，會出現兩種大不相同的解的型式，一是散射態、二是束縛態，在束縛態時最重要會出現的現象就是能量的量子化，也就是只有某些特定的能量值才是允許的。從計算的角度而言，允許與有是怎樣表現出來呢？是波函數能否被歸一化的基本要求。如果在某一個 E 值的試作下波函數發散了，它就沒有辦法被求出對整個空間的積分（無限大），因而也就沒有辦法歸一化它的波函數了。我們就認定這樣的 E 值是不允許的能量值，並且作其他的猜測，儘可能找出所有允許的 E 值與其對應的波函數解。
認識該數學問題的本質
已知與未知
- h2/2m ▽2 φ(x) + V(x)φ(x) = E φ(x)
本徵值問題的微分方程式
什麼是 "微分方程式" ？
什麼是 "本徵值" ？
數值求解 : 將微分方程式積分
演算法 : 奧依勒演算法、隆巨庫塔 或 奧依勒－克洛瑪 (比較 : 奧依勒－理查遜) 演算法
微分方程式求解散之演算法簡介（待連結）
要積分的方程式，經整理後有以下型式
d2/dx2 φ(x) = 2m/
h2 [V(x) -E]φ(x)可化化為兩個聯立的一階常微方式：
d/dx φ(x) = φ' (x)
d/dx φ'(x) = 2m/h2 [V(x) -E] φ(x)注意參考書上建議用下面這種 Euler-Cromer 演算法來處理這種會振盪的解就夠好了（詳見參考書 Gould & Tobochnic 內文）請注意斜率項是取 n+1 點上而非 n 點上的，也就是
φ's+1 = φ's + φ''s+1 Δx
φs+1 = φs + φ's+1 Δ x我們也因此不必動用像 Runge-Kutta 那種較高階且較精密的演算法（詳見數值方法線上教材）。另外，若我們採行所謂的原子單位（atomic unit），則上式中的電子質量與卜朗克常數都可以設成 1。
初始值
在本節為了利於模擬示範以上說明的特性，我們採用了一個較為簡化了的情況，就是只處理 V(-x) = V(x) 這種以 y=0 為鏡面對稱這種型式的一維位勢。這樣的對稱性將保證其解必有明確的宇稱性（parity），意思就是說其解必定是奇函數 f(-x) = -f(x) 或是偶函數 f(-x) = f(x) ，不會有其他的狀況。
這樣的特例帶給我們以下計算上的簡化：一、解自動分為奇函數與偶函數兩組，都只要處理後從零到正無限大之間的範圍求解即可（因奇偶函數的另一半是確定的），另外，凡奇函數者皆可由初始原點以 f(x=0) = 0、f'(x=0) = 1 作初始條件出發開始向右積分，而偶函數者皆可由初始原點以 f(x=0) = 1、f'(x=0) = 0 作初始條件出發開始向右積分。
猜測本徵值
歸一化之必要性及其判定
以下為程式流程概要：
(1) 使用者輸入位井深度 V0 與寬度 2a，畫出位井的圖形
(2) 輸入猜測的 E 值，以及奇偶性
(3) 用演算法一步步積分波函數，並繪圖供觀察
(4) 清除畫面、重畫位井、重覆步驟 (2)
這個程式是供使用者不斷手工嘗試 E 值，找出量子力學允許的那些。
撰寫程式：
（請自行練習）
真的寫不出來，偷看一下老師寫的範例程式
操作
選 parity
選 eigenvalue (本徵值)
觀察 與 討論
一、為何向上或向下走後就一定是發散？ （所以我們可以確定有一個解一定在向上與向下發散之間）
提示：從演算法的趨勢去看
二、給定一個位井，其所有可能的本徵值是有限個還是無限個？
三、換成拋物線型的位勢，其本徵值的分佈變成怎樣？
偷看一下：eigen_parabolic.f
延伸思考
在本單元中我們要一個一個猜能量值，誰然有向上、向下發散的提示作包夾，但實在還是太麻煩，有沒有自動的方法？
思考函數的求根問題（給我們一個明確的函數 f(x)，問那些 x 會使 f(x) = 0 ，我們怎麼作？）
解出來？
作圖？
用電腦地毯式搜索？