量子物理複習

Review of Quantum Theory

 

物質具有波動及粒子二元的性質,量子力學告訴我們波函數與發現粒子之機率的關係是:

P(x,t) dx = |Ψ(x,t)|2 dx

其中 P(x,t) dx 是指在微小空間範圍 dx 內,發現粒子的機率。而 P(x) 是單位體積機率密度分佈度函數,此值是恆為正的。機率分佈函數 P(x,t) 必須滿足一個重要的基本特性:歸一化條件,也就是

∫P(x,t) dx = 1

注意這堥 norm 的平方是什麼意思:∣Ψ(x,t)∣2 = Ψ*(x,t)Ψ(x,t) <= 複變函數之 norm 的平方即是如此定義。(基本定義:複變函數 f 之∣f∣2 = f*f ,其中 f* 是 f 的共軛複數,即若 f = g + hi 則 f* = g - hi 。)

在量子力學只能談機率 ,至於如何得到粒子運動的機率,取決於如何得到波函數Ψ(x,t),這要從解薛丁格方程式得到。若粒子感受到外來位勢 V(x,t),則薛丁格方程式寫成:

ih dΨ(x,t)/dt = [- h2/2m 2 + V(x,t) ] Ψ(x,t)

粒子的波函數 Ψ(x,t) 滿足薛丁格方程式,上式是所謂“與時間有關的”薛丁格方程式。這堛漯i函數Ψ(x,t),基於其機率密度的意義,必須滿足歸一化條件:∫Ψ*(x,t)Ψ(x,t) dx = 1 。

問:有了波函數Ψ(x,t) wave function有什麼用?答:不只知道粒子如何分佈,任何可測量到的物理量,都可透過算符求期望值而獲得如下:

〈A〉=∫Ψ*(x,t) A Ψ(x,t) dx

 

很多狀況下,外加位勢 V(x,t) = V(x),與時間無關。薛丁格方程式便可以進一步簡化,其解的形式可以分解為: Ψ(x,t) = φ(x)T(t) ,其中φ(x) 滿足“與時間無關的”薛丁格方程式 :

[- h2/2m 2 + V(x,t) ] Ψ(x,t) = E Ψ(x,t)

如何證明?

(提示:V(x,t) → V(x),試用 Ψ(x,t) = φ(x)T(t) 然後進行分離變數的動作:即兩邊同除以φ(x)T(t),逼出常數令為 E,則分離變數完成。)

證明:假設 Ψ(x,t) = φ(x)T(t) 代入上式(看會不會矛盾),將Ψ(x,t) 代入薛丁格方程式後同除以φ(x)T(t),得到

[-1/ T(t)] [dT(t)/dt] = [1/φ(x)] [- h2/2m 2 φ(x)] + V(x)
 
 

等號左邊與時間 t 有關,而等號右邊與 x 有關,真正的解 Ψ(x,t) 會讓“ = ”永遠成立,不管 t, x 如何改變。唯一可能的情況,就是等號兩邊是同一個常數,在此我們令之為 E。(隨後我們將會發現此 E 具系統總能的意義。)
 
 

另外,回顧與時間無關的薛丁格方程式:(在此探討一維,所以偏微分可寫成全微分。)

- h2/2m 2 ψ(x) + V(x)ψ(x) = Eψ(x)

這一個微分方程式型的本徵值問題。因為它是滿足 Hermition 算符形式的本徵值問題,故其解有不同本徵值者,其本徵函數必正交(至於什麼叫做 Hermition 算符,請參見量子力學教科書)。從上式可看出 ψ(x) 是 Hamiltonian 算符 H 的本徵函數,其中 H = - h2/2m 2 +V(x),本徵值是 E,整個式子可表示為:

Hψ(x) = Eψ(x)

注意只有在 H 是已知而 E 與ψ(x) 皆是未知時,上式才稱的上是本徵值問題。正因為 Hψ(x) = Eψ(x) 是本徵值問題,有多組的 En 及 ψn(x)。有多少組解,與系統維度有關,系統維度愈大,解就愈多。(剛體的轉動慣量是三個維度,故只有三個解)

定好算符便可以得到本徵值與本徵函數,而波函數Ψ(x,t)則可以表示成任意物理量算符之本徵函數的線性組合。例如,用能量算符 H 的各本徵函數 ψn(x) 來展開 Ψ(x,t) 的話,可寫成

Ψ(x,t) = Σn cnψn(x) e-Et/h

其中Σ是對所有基底函數加總,對離散態是求和,對連續態則是積分,另外係數 cn 可由 Ψ(x,t) 在任一時刻點 t = 0 之值 Ψ(x,t=0) 求得。比方說。我們知道 Ψ(x,t=0),則運用本徵函數的正交特性,我們可以得

cn =∫ψn*(x)Ψ(x,0) dx

此係數 cn 可被詮釋為,該系統會被量測到總能量值是 En 的機率振幅,換句話說,|cn|2 = cn* cn 就是總能量會被量到是 En 的機率。