量子物理複習
Review of Quantum Theory
物質具有波動及粒子二元的性質，量子力學告訴我們波函數與發現粒子之機率的關係是：
P(x,t) dx = |Ψ(x,t)|2 dx
其中 P(x,t) dx 是指在微小空間範圍 dx 內，發現粒子的機率。而 P(x) 是單位體積機率密度分佈度函數，此值是恆為正的。機率分佈函數 P(x,t) 必須滿足一個重要的基本特性：歸一化條件，也就是
∫P(x,t) dx = 1
注意這裏取 norm 的平方是什麼意思：∣Ψ(x,t)∣2 = Ψ*(x,t)Ψ(x,t) <= 複變函數之 norm 的平方即是如此定義。（基本定義：複變函數 f 之∣f∣2 = f*f ，其中 f* 是 f 的共軛複數，即若 f = g + hi 則 f* = g - hi 。）
在量子力學只能談機率 ，至於如何得到粒子運動的機率，取決於如何得到波函數Ψ(x,t)，這要從解薛丁格方程式得到。若粒子感受到外來位勢 V(x,t)，則薛丁格方程式寫成：
ih dΨ(x,t)/dt = [- h2/2m ▽2 + V(x,t) ] Ψ(x,t)
粒子的波函數 Ψ(x,t) 滿足薛丁格方程式，上式是所謂“與時間有關的”薛丁格方程式。這裏的波函數Ψ(x,t)，基於其機率密度的意義，必須滿足歸一化條件：∫Ψ*(x,t)Ψ(x,t) dx = 1 。
問：有了波函數Ψ(x,t) wave function有什麼用？答：不只知道粒子如何分佈，任何可測量到的物理量，都可透過算符求期望值而獲得如下：
〈A〉=∫Ψ*(x,t) A Ψ(x,t) dx
很多狀況下，外加位勢 V(x,t) = V(x)，與時間無關。薛丁格方程式便可以進一步簡化，其解的形式可以分解為： Ψ(x,t) = φ(x)T(t) ，其中φ(x) 滿足“與時間無關的”薛丁格方程式 ：
[- h2/2m ▽2 + V(x,t) ] Ψ(x,t) = E Ψ(x,t)
如何證明？
（提示：V(x,t) → V(x)，試用 Ψ(x,t) = φ(x)T(t) 然後進行分離變數的動作：即兩邊同除以φ(x)T(t)，逼出常數令為 E，則分離變數完成。）
證明：假設 Ψ(x,t) = φ(x)T(t) 代入上式（看會不會矛盾），將Ψ(x,t) 代入薛丁格方程式後同除以φ(x)T(t)，得到
[-1/ T(t)] [dT(t)/dt]
= [1/φ(x)] [- h2/2m ▽2
φ(x)] + V(x)
等號左邊與時間 t 有關，而等號右邊與 x
有關，真正的解 Ψ(x,t) 會讓“ = ”永遠成立，不管 t, x 如何改變。唯一可能的情況，就是等號兩邊是同一個常數，在此我們令之為
E。（隨後我們將會發現此 E 具系統總能的意義。）
另外，回顧與時間無關的薛丁格方程式：（在此探討一維，所以偏微分可寫成全微分。）
- h2/2m ▽2 ψ(x) + V(x)ψ(x) = Eψ(x)
這一個微分方程式型的本徵值問題。因為它是滿足 Hermition 算符形式的本徵值問題，故其解有不同本徵值者，其本徵函數必正交（至於什麼叫做 Hermition 算符，請參見量子力學教科書）。從上式可看出 ψ(x) 是 Hamiltonian 算符 H 的本徵函數，其中 H = - h2/2m ▽2 +V(x)，本徵值是 E，整個式子可表示為：
Hψ(x) = Eψ(x)
注意只有在 H 是已知而 E 與ψ(x) 皆是未知時，上式才稱的上是本徵值問題。正因為 Hψ(x) = Eψ(x) 是本徵值問題，有多組的 En 及 ψn(x)。有多少組解，與系統維度有關，系統維度愈大，解就愈多。（剛體的轉動慣量是三個維度，故只有三個解）
定好算符便可以得到本徵值與本徵函數，而波函數Ψ(x,t)則可以表示成任意物理量算符之本徵函數的線性組合。例如，用能量算符 H 的各本徵函數 ψn(x) 來展開 Ψ(x,t) 的話，可寫成
Ψ(x,t) = Σn cnψn(x) e-Et/h
其中Σ是對所有基底函數加總，對離散態是求和，對連續態則是積分，另外係數 cn 可由 Ψ(x,t) 在任一時刻點 t = 0 之值 Ψ(x,t=0) 求得。比方說。我們知道 Ψ(x,t=0)，則運用本徵函數的正交特性，我們可以得
cn =∫ψn*(x)Ψ(x,0) dx
此係數 cn 可被詮釋為，該系統會被量測到總能量值是 En 的機率振幅，換句話說，| cn|2 = cn* cn 就是總能量會被量到是 En 的機率。