波粒二元性

光的波粒二元性

牛頓

牛頓的雙三稜鏡實驗發現了的光譜、光與色的關係，他也因此提出光的微粒說。

牛頓的一生：http://web2.nmns.edu.tw/PubLib/NewsLetter/91/180/11.htm

惠更斯

指出波前上的每一個點都可以看成新的波源，如此可以解釋光的直進、反射與折射。這是光的波動說的成功。

波的重疊性原理

線性微分方程式

一個波可以在時空中存在，是因為它滿足了所該具有之（波動）方程式的那個定律，幾乎所有的物理定律都可以用物理量之間的方程式加以表達出來。兩個波之所以有疊加的行為，是因為線性數學問題的解，（乘係數）加在一起仍是解，這便是的疊加原理背後的數學基礎。

非線性波的範例：孤立子（孤粒子）

干涉與繞射

電子的發現

電的發現：雷雨天戶外放風箏的富蘭克林

陰極射線

J.J. Thompson 湯普森的陰極射線管實驗 (1897) ，讓他確認電子是具有質量的物質，原子不是物質的最小單位

http://en.wikipedia.org/wiki/J._J._Thomson

康卜頓效應

X-光的波長會因為撞擊到電子而被其吸收一部分而改變，同時電子也獲得動能。光子的能量與其波長（頻率）的關係再次確認，並且動量守恆與能它守恆同時會滿足。

波爾模型與原子光譜

波爾模型：詳見原子的結構單元

電子在原子中所表現的行為，決定了原子的光譜。

電子繞射與中子繞射

電子繞射

晶體的電子繞射實驗

湯普森：更高能量的電子繞射

中子繞射

德布洛利的物質波 (1926)

希望與恐懼

迪拉克回憶在二十世紀前面的二十年，理論學家陷於希望與恐懼的雙重感受中。主要就是波與粒是觀念上不相容的兩樣東西。

光電效應是它無法避免的起點

愛因斯坦是第一個必須面對這個之題的人，它的光電效應公式

E = h ν

E 是粒子屬性的量、ν 是波屬性的量

德布洛利的想法

E = mc²

E = mc² = hν

mc = hν / c

光子的速度是 c，因此光子動量 p = hν/c

利用 c = λν ，則

p = h / λ

到此為止都還在光子的層次上討論，但德布洛利主張這個 "動量與波長" 的關係對於所有的物質也是對的。

動量與波長的關係

p = h / λ

愛因斯坦認同，但哥本哈根學派不然。物質波被哥本哈根學派批評為誤導量子理論。

電子波的證實

Davisson 與 Germer 把低速電子打到鎳晶體而觀察到繞射現象

第一個博士論文諾貝爾獎

1929

（時勢創造英雄？）

（第二個博士論文諾貝爾獎？）2012 慶祝 50 週年 (郵票風波)

互補原理 ( Complementary Principle )

波爾所提出，主張當物質以波的行為特性表現時，粒子特性消失不表現，反之亦然。

波與粒子如同物質世界的兩種極端的表象，原來宇宙不之只有粒子與波，而是介於之間，同時具有不同程度的表現的東西。

波粒二元性與測不準原理

利用德布洛利物質波的觀念，再加上一些波的基本通性，就可以推論出測不準原理所陳述的結論。而測不準原理的結論在物理上是具有重要的位階。

（我們常講有沒有物理意義，"物理意義" 是什麼？把一個過程用一個符合事實的簡單物理律或物理量描述。）

Δp_x Δx ≧ h/2

ΔE Δt ≧h/2

假如 h 很小，就沒有測不準的限制了。

波爾的電子顯微鏡思考實驗

動量誤差從 + p sin θ 到 - p sin θ

Δp_x = 2 p sin θ = (2h / λ) sin θ

而顯微鏡的鑑別率可看成是單狹縫繞射的主峰寬度

Δx = λ/ sin θ

兩個乘在一起

Δp_x Δx = 2h

請注意這個從 "觀測" 的角度出發的論證。

認識波動

（一般的）波動方程式及其解

對空間微分兩次、對時間微分也兩次

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u$

這個方程式的通解是正弦、餘弦波的形態 sin(kx+ωt), cos(kx+ωt)，也叫波列 (wave train) 或平面波 (plane wave) 因為波前平直的，不像球面波那樣是。另外，在有使用複數的情況下，也有使用指數的更簡潔的形式 e ^i(kx+ωt) 。

不管是使用三角函數的純實數表示法，抑或是含有虛數的表示法，只要它足夠用來描述波動現像，都可以使用，例如只要講好是實數的部分即可，

維基百科上的波動方程式： http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation

相速度與群速度

任何滿足上述波動方程式的波，皆可表示為各波列或平面波的組合，此時其中的一個波列叫做分量 (component)（回想向量空間）。一個之這樣的波分量，便有明確的頻率與波數，注意波數與波長互為倒數，故此波分量有明確的速度（波長＊頻率）。

在各種介質中，不同頻率之波列其波速不同，這就是色散現像（例如三錂鏡予彩虹）會發生的原因。

既然不同頻率的波跑得不一樣快，總主組合波的波形就為會變化，使波看起來有移動的感覺，此一移動之整體速度不必等於任何分量之波速，因此有群速度 (group velocity) 育與相速度 (phase velocity) 之分。

相速度的定義

群速度

$v_g \ \equiv\ \frac{\partial \omega}{\partial k}\,$

http://140.122.141.1/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=14610

k1,ω1 = (7.0, 4.0); k2,ω2 = (8.0, 7.0)

薛丁格方程式

如果物質也有波，那這個波滿足什麼樣的方程式？

薛丁格是興趣及能力都很廣博的科學家。漢密頓力學能同的處理光線的問題與力學的向，他結合了幾個的要素來建立新的波動力學，其中包含了物質波、光子能量公式、漢密頓力學等。

$p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k$

經過一番嘗試之後，他得到流傳後世的方程式 (1926)：

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,\,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(x,\,t) + V(x)\Psi(x,\,t).$

http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation

在此之後一切大不相同 (驚人的預測精確度)

薛丁格方程式的一種合理化的推導（虛數的出現）

四個要滿足的基本要素

(1) 符合德布洛利的 λ = h/p 以及愛因斯坦的 ν = E/h

(2) 滿足 E = p²/2m +V

(3) 線性方程式（疊加原理）

(4) 位能為常數（即外力為零）時，假設物質波是具有固定波長與頻率的正弦行進波

但出現 sin 及 cos ，而非僅一種，故再令更一般性的組合

並再一次進行對空間微分兩次、乘位勢常數、以及對時間微分一次，三項加一起

sin, cos 各自係數必須為零，且可得 γ² = -1

又，來自平面波 h² / (2m λ²) + V(x,t) = hν ，比對出 α 及 β

最後，γ = i (or -i)、α = -h2/2m、β = ih

（思考：物質波的波長 λ = h/p ，物質波的頻率 ν = E/h ，那麼，物質波的波速呢？）

另一個類似的推導（來自維基百科）

物理意義大致可了解如下：

E = T + V = P²/(2m) + V

粒子與波的統合與機率解釋

如果粒子也有波，那麼我們馬上面臨一個問題，即該波的振幅是什麼意義？

粒子的能量是正比於粒子的顆數，而波的能量則是振幅平方（Bohm 所提出，有人說它應該也是諾貝爾獎級的成就）。兩種觀點同樣表現能量，這樣的共通點暗示了一個物質波之重要的物理意義上的解釋。

也就是說，振幅大粒子多，更精確地講是振幅的平方與粒子數目多少成正比。另一個重要的點是，由於只能談數目多少，而無更進一步關於個別粒子位置或運動方向等的資訊，因此就必須引入統計機率的觀念。（波恩提出的）這一點，在薛丁格提出他的波方程式而建立了量子力學之後，協助了對方程式解出來的波是什麼的詮釋，量子力學在有了波的機率振幅解釋後，更加完備。

實數波與複數波

繩波、水波、電磁波，它們的振幅可以被觀察到

問：光子的薛丁格方程式長得什麼樣子？
答：參見網路上的分析 http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/wave_equations.html

複數(物理)量與實數(物理)量有什麼不同？複數出現 OK 嗎？

只有實數的物理量才能被測量到，例如，實數的長度值，可以用尺來量。

量子力學裏有所謂的 "可觀量 (Observable)" 這樣的量。它們是由只會造成實數期望值的 Hermitian Operator 所給出的。

n times m 可以是什麼圖像？

m times r 可以是什麼圖像？

r1 times r2 可以是什麼圖像？

r times z 可以是什麼圖像？

z1 times z2 可以是什麼圖像？

虛數i (即√(-1) ) 有什麼特別之處？

e^iθ= cos θ + i sin θ

（這是一個非常重要的關係式，Euler 說 e^iπ + 1 = 0 是他認為最美麗的方程式，短短的式中，裏面有 0、1、e、 i 與 π ）

首先不要忘記，指數函數 e^x 有什麼特殊之處？（答案：一、微分結果，即斜率，等於原函數自己；二、作為冪次操作，相乘等於指數相加，）

單位圓的圓週運動，位置向量與切線向量都是時刻的函數，它們恰永遠形成 90 度的固定關係。

i 倍係數，就是複平面 90 度的相位差。

配合出現在指數上，轉動操作是持續連乘，而其函數型式則保證此等同於角度在指數上累加。

（為什麼 "波" 是呼吸韻律，而不是華爾滋 (膨恰恰) 節奏？）

思考與討論：自然界裏有什麼是複數的？

想一想，所有我們可以度量的東西都必須是 " 正" 的，至少也只能是零。負值的概念，來自於因為訂了零作為參考點，抑或是衍生自比較。（例如，）不管我們在自然界會不會測量到負的量，有了負數可以讓原有的正實數更加方便，更多為了瞭解自然界而建立的數學模型可以更方便地被我們處理。

在純數學上，虛數來自一個簡單的需求，即一個數的平方會得到是負的值。與負值一樣，不管在自然界我們會不會測量到虛數的量，有了虛數就可以讓原來的實數更方便，同樣地，會有更多為了瞭解自然界而建立的數學模型，可以更方便地被人類求解出來，而達到預測自然的目的。

思考：負負得正，那麼正正為什麼不是負？

從允許負數進一步到納入虛數：元素運作的方式，不僅是反向，而還有轉向。（群 Group、環 Ring、體 Field ，。常見的體有複數、實數、有理數，虛數 i 只在複數有，複數比實數有什麼特別之處？除了元素較多之外。）（虛數是替週期現象引入相位的一種相當方便的方法，因此很自然地出現在波的數學描述中。）

思考：如果 1.23² 代表 1.23 × 1.23，那 1.23^4.56 是什麼意思？

（可透過 f(x,y) ≡ x^y 函數來理解，而 f(x,n) ≡ xⁿ 只是前者的一個特殊形式，這就是我們為什麼要學習各式各樣函數，以及它們的表示法與近似法的其中一個理由。）

這個宇宙為什麼要遵照數學的方式來打造？難到上帝是數學家嗎？

一種觀點是：人的腦力（心智的理解力）是有限的，因此需藉由模型來了解宇宙及任何事物，而數學是建構各種模型的絕佳工具。

握我們也可以說，波粒二元性正是來自以不同的模型來理解同一個事物，它反映出人類認知能力與模型的有限性。

波函數的機率解釋與量子力學的建立完成

量子物理複習

機率詮釋 vs. 隱藏變數、EPR 思考實驗與貝爾不等式

http://www.phy.ncu.edu.tw/dcc/History/Struggle%20of%20Titans.htm

帶著時鐘的光子（與電子）

量子力學與路徑積分

古典力學的作用量 (Action) 與

最小作用量原理

動能減位能，是作用量

$\exp\left( {i\over \hbar} S \right)$

費曼圖

波？粒？弦！

重力小是因時空是 11 維（10+1）

Introduction to quantum mechanics : http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_quantum_mechanics#Schr.C3.B6dinger_wave_equation