四條一組的馬克斯威爾方程式
電磁波的波速
整理後變成波動方程式（詳見課本推導 31.1），波速因此直接出現在公式中
其中
光的介質：以太？
聲音的傳播媒介是空氣或可振動的物質，當時料學家也理所當然認為有專門傳播光的介質，甚至先命名它為以太。
相對論
速度相加的問題
直接關係到我們時、空的宇宙觀
對物理定律在不同慣性座標系下一致，也是基本預期
馬克斯威爾方程式
四條一組的馬克斯威爾方程式
電磁波的波速
整理後變成波動方程式（詳見課本推導 31.1），波速因此直接出現在公式中
光的介質：以太？
聲音的傳播媒介是空氣或可振動的物質，當時料學家也理所當然認為有專門傳播光的介質，甚至先命名它為以太。
找尋以太
邁可森－莫利的干涉儀
來自同一個光源，分出的兩道光路後再讓他們干涉在一起，若光程稍有變化，就有干涉條紋變化。如此，想像一條光路與以太風的方向平行，另–條光路垂直。稍作分析即可知光程不同。現在想像將整個儀器緩緩旋轉 90 度角，使兩條光路角色交換，則我們預期要看到干涉條紋變。
最成功的失敗實驗
儀器之靈敏度已改進到非常好（遠超過所需，地球公轉速度每秒數公里），只要有對以太的相對運動一定測得出來。但還是無任何結果，仿彿以太在地球週圍是靜止。
勞倫玆縮短理論
沿著對以太運動的方向，長度縮短
L = L0 √(1 - v2/c2 )
恰好可以符合邁可森–莫利實驗，但爭議性很大。
愛因斯坦的相對論（相對性原理）
基本假設：
（一）所有慣性（即不加速的）座標系中，物理定律不變
（二）光速對任何觀察者皆相同
β 與 γ
這兩個量常在相對論中見到，先定義
β = v / c
γ= 1 / √ (1 - β2)
光錐
任何訊號與交互作用不能超過光速，因此某一時空點能影響到的範圍，有一個新的邊界限定，叫正光錐；而所有能影響到該時空點的部分，則叫負光錐。
見圖
上圖中，紅點只能影響藍點，而與綠點完全不會有因果上的相關性。同理，過去所能影響到現在的（事件）點，也只在一定距離範圍之內。
古典物理：
兩空間點的相距（不論那個觀察者看到）
Δr = √ [ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 ]
（注意：上式在座標變換下其值不變，即座標轉換保長）
兩時刻點的間距（不論那個觀察者看到）
Δt = t 2 - t 1
相對論：
兩事件點在時空中的間距（不論那個觀察者看到）
s2 = c2 (Δt)2 - (Δr)2
時間增長
Δt = γΔt0
Δt0 = 2h / c
Δt = L / c
其中 (L/2)2= h2 + (x/2)2 故 L = √(4h2 + v2Δt2)
則 Δt = L / c = √(4h2/c2 + v2/c2 Δt2) = √(Δt02 + v2/c2 Δt2)
即 Δt √(1 - v2/c2 )= Δt0
Δt = Δt0 / √(1 - v2/c2 )
即 Δt = γΔt0
長度縮短
L = L0 / γ= L0 √(1 - v2/c2 )
重現了勞倫玆提出的的假說公式
科學沒有因此而搞亂，物理定律的位階反而更加穩固。
推導（見課本以太空梭為例）
靜止時機身長 L0 的太空梭向前飛行速度 v，量其機身長度 L
在靜止座標系置 雷射與計時器，機鼻擋住 光束啟動計時，機尾離開時計時停止，則 L = v Δt0 ，其中 Δt0 是 proper time（此一時鐘沒有在運動）。另外， 從機內人觀點而言，看機外鐘的讀數固然是 Δt0，但若使用置於機內的時鐘則有時間膨脹效應 Δt = γΔt0，因此光束被擋住（先遮後放）的整個流程耗時 Δt ，他看到光束照射點走了 v Δt 的距離，長度恰是機身長 L0 。
種總而言之，由於有時間膨脹效應，機內鐘計得之時間 Δt 比機外鐘計得之時間 Δt0 長，關係為 Δt = γ Δt0，故 我們有
L = v Δt0
L0 = v Δt = v γ Δt0
得 L = L0 / γ
故量得之機身長縮短 1/ γ 倍
孿生子矛盾
予盾點：太空（高速）旅行回來，兩個都比對方年輕，矛盾。
解釋：坐太空船的，要折返回來的那一個較年輕，分別從地球觀點與太空船球觀點皆如此。
作法：利用前面已推得的時間延遲以及長度縮短
本問題之 γ 值為 1/ √(1- 0.652) = 1.32
地球人看：太空船 0.65 倍光速向右， 抵達 3.25 光年處後原速折返，單程費時 5 年，故 10 年返抵地球 。地球上的人也知道太空船上時間流較慢，10年 / γ= 船上年，入代 γ 值 得 10 年/ 1.32 = 7.576 年。
太空人有在移動，在他看起來距離 (有長度縮短) 單程為 3.25*1/1.32 = 2.462121... 往返總長 4.9242... (而不是 6.5 光年)，故其行程費時 4.9242 光年 / 0.65 光速 = 7.576 年。
請注意返航時速度是 -0.914 c ，而不是兩倍 0.65c 的 -1.3 c 。
（請閱讀課文 pdf 共三頁）
新的速度相加公式
不再是 u'x = ux + v
而是（推導見課本）
相對論頻率偏移
頻率與時間有關，狹義相對論告訴我們，有相對速度的發射體，由於時間間隔改變，因此頻率也會改變。這與聲學都卜勒效應的原理是不同的。
詳細推導見 http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_Doppler_effect
設相互遠離
從光源的觀點，從第一個波前恰達到接收者，此時第二個波前距接收者 λ那麼遠。
要讓第二道波前以光速 c 追上接收者，但接收者也同時以 v 後退中，追上（第二波前被接收到）時第二波前還要走 λ+ v t0 這麼遠，是以光速 c 來走的，有以下關係式
λ+ v t0 = c t0
共費時
t0 = λ / (c - v)
此 λ為波長，故有 λ = c / f0，因此
t0 = λ / (c - v) = (c / f0) / (c - v) = 1/ [(1 - β) f0]
接收端是移動中的，故時間過比較慢，此一事件之歷時 t0 對接收端而言會較短
t = t0 / γ
故
f = 1/ t = γ[(1 - β) f0]
= [(1 - β) f0] / √ [(1-β) (1+β)]
= f0 √[ (1-β) / (1+β)]
= f0 √[ (c -v) / (c + v)]
(遠離時)
f = f0 √ [ (c-v) / (c+v) ]
(接近時)
f = f0 √ [ (c+v) / (c-v) ]
(transversive)
勞倫玆轉換
明顯與伽利略轉換不同，時、空是同為量的兩個分量（同步消長，像旋轉一般），故時空是一體的。
伽利略轉換
x' = x - vt
y' = y
z' = z
t' = t
勞倫玆轉換
x' = γ ( x - vt )
y' = y
z' = z
t' = γ ( t - vx/c2 )
勞倫玆轉換下的不變量
作業：驗證前面所定及 s 是一個勞倫玆轉換下的不變量
以不變量來寫物理定律公式
（才能真正突顯公式中各物性或量的特徵，而不只是舊式新寫。）
在相對論考慮下，向量都是四維的，而物理定律則形式上要滿足勞倫玆轉換不變性。
其長度（絕對值）會滿足勞倫玆轉換不變性的物理量，如：（但絕對值定義裏的平方和）要用 - + + + 係數，叫閔可夫斯基絕對值 (norm)）
時刻、位置是在同一個四維向量之內：Xμ = ( ct, x, y, z )
光速、速度是在同一個四維向量之內：Uμ = ( γc, γvx,γvy,γvz )
能量、動量是在同一個四維向量之內：Pμ = m Uμ= ( γm c,γmvx,γmvy,γmvz) = ( E / c, px, py, pz )
電位、向量位同屬一個四維向量之內： Aμ = ( Φ/ c, Ax, Ay, Az )
新的動量與能量公式
動量
不再是 p = m v ，而是
p = γ m u
其中 u 是某觀察者看到的速度，而 m 永遠指的是靜止質量。這樣定才能滿足動量相關定律（如動量守恆）在相對論中對所有觀察者定律不變。
Halliday 課本教法如下：需重新定義動量，以使動量守恆定律適用於不同相對速度的觀察者：
p = m × 觀察者座標系中之距離 / 靜止座標系中之時間 = m Δx / Δt0
（觀念：proper time 才是對應到純量的時間，放在分母的東西必須要是純量）
力
力的正確公式是
F = d p / d t
（不能再用 F = m a，即使有所謂的相對性質量 mr，也不能直接把 mr 代入 F = mr a ，Giancoli 叮嚀）
能量
先只考慮動能（位能在此無關），本來是 1/2 m v2，但在相對論下，動量定義已經不同，
能量公式的推導
W = ∫ F dx = ∫ dp/dt dx
其中 dp / dt = d(γm u) / dt = m/[(1 - v2/c2)(3/2)] dv/dt
（積分過程見課本）
功－功能定理繼續適用，即 ΔK = W ，則得
K = (γ-1) m c2
Bauer & Westfall 課本，是先說明愛因斯坦提出物體靜止時 E0 = m c2，故加入動能後得
E = γm c2
上式 E 是相對論下之總能
靜止時 E0 = m c2，移動時，多了 γ 的係數因子， E = γE0 ，即 E = γm c2 。
動量－能量關係
非相對論下 E = p2 / 2m ，在相對論下
由於 E = γm c2 、p = γm v，而有
E2 = p2 c2 + m2 c4
請注意這個式子中沒有 γ、β 等相對速度有關的量，上式是一個滿足不變性的方程式。其中
m2 c4 = E2 - p2 c2 或 m2 = (E / c2)2 - (p/c)2 是一個座標轉換不變量。
最有名的物理公式
上式 E2 = p2 c2 + m2 c4 ，在靜止的狀態（或座標系） v = 0 ，故 p = γm v = 0
得 E2 = m2 c4，即
E = m c2
2005年，世界物理年
另一種推得 E = m c2 的方式
愛因斯坦在尋求獲得相對論之能量（動能）之時，藉由考慮低速下動能應該要重現 1/2 m v2 的結果， 發現必需減去一個常數項 m c2 才可得到，
說明如下：
動能 K = (γ - 1) m c2 = m c2/ √[1 - (v/c)2] - m c2
當 v << c 時， 泰勒展開 γ= 1 + 1/2 β2
驗證：泰勒展開 γ= [1 - β2](-1/2) = 1 + (-1/2) [1 - 0](-3/2) (-1)β2 + ... = 1 + 1/2 β2 + ...
實驗證明
粒子 (μ) 衰變的生命期
高速移動者生命期變長
被帶上飛機（繞地球四圈）的原子鐘
的確與地面上的不同
其他相對論的證據
beta-射線在磁場中彎折的角度，與質量 (動量) 有關
原子裏的近光速的電子，有效質量 (動量) 要修正
相對論量子力學－電子自旋的發生
廣義相對論
引力與運動的加速等效
空間（時空）受物質彎曲
愛因斯坦方程式
方程式的樣子如下：
Gμν - Λ gμν = k Tμν
上式的意思是
時空曲率 - 宇宙項 = 物質密度
其中 Λ是宇宙常數、k 是重力常數。裏頭為了營造出恆定宇宙（否則原方程式的解非膨脹即收縮），而設的扺消項。
1929 年在哈伯得到宇宙膨脹的證據時，愛因斯坦自稱這是他一生最大最錯誤。（有數據支持宇宙膨脹是加速之後，有人因此說，難到愛因斯坦的宇宙項終究還是加對了嗎？）
黑洞
這是愛因斯坦方程式的一種解，質量密度大得時空彎曲到連光都出不來。
宇宙膨脹
這也是愛因斯坦方程式解的的一種解，但注意質量的附近並未膨脹。
實驗證明
太陽背後的星光（重力透鏡）（課文開章圖則為銀河系的）
水星公轉（近日點、遠日點）的進動
相對論在生活科技上若應用
全球衛星定位系統（GPS）
http 原子鐘
狹義與廣義相對論都有用到
狹義：衛星對地面有速度
廣義：衛星與地面受重力不同
原子鐘之間的同步化是精確到 10-13，而以衛星速度 4 km/s ，其時間膨脹與否的相對誤差是 10-10，看雖不大，但比原子 鐘之間的同步能達到的精準度還差一千倍，不作修正將使定位結果大大失準。
