相對論

 

速度相加的問題

直接關係到我們時、空的宇宙觀

對物理定律在不同慣性座標系下一致,也是基本預期

 

馬克斯威爾方程式

四條一組的馬克斯威爾方程式

電磁波的波速

整理後變成波動方程式(詳見課本推導 31.1),波速因此直接出現在公式中

其中

 

光的介質:以太?

聲音的傳播媒介是空氣或可振動的物質,當時料學家也理所當然認為有專門傳播光的介質,甚至先命名它為以太。

 

找尋以太

邁可森-莫利的干涉儀

來自同一個光源,分出的兩道光路後再讓他們干涉在一起,若光程稍有變化,就有干涉條紋變化。如此,想像一條光路與以太風的方向平行,另–條光路垂直。稍作分析即可知光程不同。現在想像將整個儀器緩緩旋轉 90 度角,使兩條光路角色交換,則我們預期要看到干涉條紋變。

 

最成功的失敗實驗

儀器之靈敏度已改進到非常好(遠超過所需,地球公轉速度每秒數公里),只要有對以太的相對運動一定測得出來。但還是無任何結果,仿彿以太在地球週圍是靜止。

 

勞倫玆縮短理論

沿著對以太運動的方向,長度縮短

L = L0 √(1 - v2/c2 )

恰好可以符合邁可森–莫利實驗,但爭議性很大。

 

愛因斯坦的相對論(相對性原理)

基本假設:

(一)所有慣性(即不加速的)座標系中,物理定律不變

(二)光速對任何觀察者皆相同

 

β 與 γ

這兩個量常在相對論中見到,先定義

β = v / c

γ= 1 / √ (1 - β2)

 

光錐

任何訊號與交互作用不能超過光速,因此某一時空點能影響到的範圍,有一個新的邊界限定,叫正光錐;而所有能影響到該時空點的部分,則叫負光錐。

見圖

上圖中,紅點只能影響藍點,而與綠點完全不會有因果上的相關性。同理,過去所能影響到現在的(事件)點,也只在一定距離範圍之內。

 

古典物理:

兩空間點的相距(不論那個觀察者看到)

Δr = √ [ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 ]

(注意:上式在座標變換下其值不變,即座標轉換保長)

 

兩時刻點的間距(不論那個觀察者看到)

Δt = t 2 - t 1

 

相對論:

兩事件點在時空中的間距(不論那個觀察者看到)

s2 = c2 (Δt)2 - (Δr)2

 

時間增長

Δt = γΔt0

Δt0 = 2h / c

Δt = L / c

其中 (L/2)2= h2 + (x/2)2 故 L = √(4h2 + v2Δt2)

則 Δt = L / c = √(4h2/c2 + v2/c2 Δt2) = √(Δt02 + v2/c2 Δt2)

即 Δt √(1 - v2/c2 )= Δt0

Δt = Δt0  / √(1 - v2/c2 )

Δt = γΔt0 

 

長度縮短

L = L0 / γ= L0 √(1 - v2/c2 )

重現了勞倫玆提出的的假說公式

科學沒有因此而搞亂,物理定律的位階反而更加穩固。

推導(見課本以太空梭為例)

靜止時機身長 L0 的太空梭向前飛行速度 v,量其機身長度 L

在靜止座標系置 雷射與計時器,機鼻擋住 光束啟動計時,機尾離開時計時停止,則 L = v Δt0 ,其中 Δt0 是 proper time(此一時鐘沒有在運動)。另外, 從機內人觀點而言,看機外鐘的讀數固然是 Δt0,但若使用置於機內的時鐘則有時間膨脹效應 Δt  = γΔt0,因此光束被擋住(先遮後放)的整個流程耗時 Δt  ,他看到光束照射點走了 v Δt 的距離,長度恰是機身長 L0

種總而言之,由於有時間膨脹效應,機內鐘計得之時間 Δt 比機外鐘計得之時間 Δt0 長,關係為 Δt  = γ Δt0,故 我們有

L = v Δt0

L0 = v Δt = v γ Δt0

得 L = L0 / γ

故量得之機身長縮短 1/ γ 倍

 

孿生子矛盾

予盾點:太空(高速)旅行回來,兩個都比對方年輕,矛盾。

解釋:坐太空船的,要折返回來的那一個較年輕,分別從地球觀點與太空船球觀點皆如此。

作法:利用前面已推得的時間延遲以及長度縮短

本問題之  γ 值為 1/ √(1- 0.652) = 1.32

地球人看:太空船 0.65 倍光速向右, 抵達 3.25 光年處後原速折返,單程費時 5 年,故 10 年返抵地球 。地球上的人也知道太空船上時間流較慢,10年 / γ= 船上年,入代 γ 值 得 10 年/ 1.32 = 7.576 年。

太空人有在移動,在他看起來距離 (有長度縮短) 單程為 3.25*1/1.32 = 2.462121... 往返總長 4.9242...          (而不是 6.5 光年),故其行程費時 4.9242 光年 / 0.65 光速 = 7.576 年。

 

 

請注意返航時速度是 -0.914 c ,而不是兩倍 0.65c 的 -1.3 c 。

(請閱讀課文 pdf 共三頁)

 

新的速度相加公式

不再是 u'x = ux + v

而是(推導見課本)

 

相對論頻率偏移

頻率與時間有關,狹義相對論告訴我們,有相對速度的發射體,由於時間間隔改變,因此頻率也會改變。這與聲學都卜勒效應的原理是不同的。

詳細推導見 http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_Doppler_effect

設相互遠離

從光源的觀點,從第一個波前恰達到接收者,此時第二個波前距接收者 λ那麼遠。

要讓第二道波前以光速 c 追上接收者,但接收者也同時以 v 後退中,追上(第二波前被接收到)時第二波前還要走 λ+ v t0 這麼遠,是以光速 c 來走的,有以下關係式

λ+ v t0 = c t0

共費時

t0 = λ / (c - v)

此 λ為波長,故有 λ = c / f0,因此

t0 = λ / (c - v) = (c / f0) / (c - v) = 1/ [(1 - β) f0]

接收端是移動中的,故時間過比較慢,此一事件之歷時 t0  對接收端而言會較短

t = t0 / γ

f = 1/ t = γ[(1 - β) f0]

= [(1 - β) f0] / √ [(1-β) (1+β)]

= f0 √[ (1-β) / (1+β)]

= f0 √[ (c -v) / (c + v)]

 

(遠離時)

f = f0 √ [ (c-v) / (c+v) ]

 

(接近時)

f = f0 √ [ (c+v) / (c-v) ]

 

(transversive)

 

勞倫玆轉換

明顯與伽利略轉換不同,時、空是同為量的兩個分量(同步消長,像旋轉一般),故時空是一體的。

 

伽利略轉換

x' = x - vt

y' = y

z' = z

t' = t

 

勞倫玆轉換

x'  = γ ( x - vt )

y' = y

z' = z

t' = γ ( t - vx/c2 )

 

勞倫玆轉換下的不變量

作業:驗證前面所定及 s 是一個勞倫玆轉換下的不變量

 

以不變量來寫物理定律公式

(才能真正突顯公式中各物性或量的特徵,而不只是舊式新寫。)

在相對論考慮下,向量都是四維的,而物理定律則形式上要滿足勞倫玆轉換不變性。

其長度(絕對值)會滿足勞倫玆轉換不變性的物理量,如:(但絕對值定義堛漸迨閰M)要用 - + + + 係數,叫閔可夫斯基絕對值 (norm))

時刻、位置是在同一個四維向量之內:Xμ = ( ct, x, y, z )

光速、速度是在同一個四維向量之內:Uμ = ( γc, γvx,γvy,γvz )

能量、動量是在同一個四維向量之內:Pμ = m Uμ= ( γm c,γmvx,γmvy,γmvz) = ( E / c, px, py,  pz )

電位、向量位同屬一個四維向量之內:  Aμ = ( Φ/ c, Ax, Ay, Az )

 

新的動量與能量公式

動量

不再是 p = m v ,而是

p = γ m u

其中 u 是某觀察者看到的速度,而 m 永遠指的是靜止質量。這樣定才能滿足動量相關定律(如動量守恆)在相對論中對所有觀察者定律不變。

Halliday 課本教法如下:需重新定義動量,以使動量守恆定律適用於不同相對速度的觀察者:

p = m × 觀察者座標系中之距離 / 靜止座標系中之時間 = m Δx / Δt0

(觀念:proper time 才是對應到純量的時間,放在分母的東西必須要是純量)

 

力的正確公式是

F = d p / d t 

(不能再用 F = m a,即使有所謂的相對性質量 mr,也不能直接把 mr 代入 F = mr a ,Giancoli 叮嚀)

 

能量

先只考慮動能(位能在此無關),本來是 1/2 m v2,但在相對論下,動量定義已經不同,

能量公式的推導

W = ∫ F dx = ∫ dp/dt dx

其中 dp / dt = d(γm u) / dt = m/[(1 - v2/c2)(3/2)] dv/dt

(積分過程見課本)

功-功能定理繼續適用,即 ΔK = W ,則得

K = (γ-1) m c2

Bauer & Westfall 課本,是先說明愛因斯坦提出物體靜止時 E0 = m c2,故加入動能後得

E  = γm c2

上式 E 是相對論下之總能

靜止時 E0 = m c2,移動時,多了 γ 的係數因子, E = γE0 ,即 E  = γm c2

 

動量-能量關係

非相對論下 E = p2 / 2m ,在相對論下

由於 E = γm c2 、p = γm v,而有

E2 = p2 c2 + m2 c4

請注意這個式子中沒有 γ、β 等相對速度有關的量,上式是一個滿足不變性的方程式。其中

m2 c4 = E2 - p2 c2 或 m2 = (E / c2)2 - (p/c)2 是一個座標轉換不變量。

 

最有名的物理公式

上式 E2 = p2 c2 + m2 c4 ,在靜止的狀態(或座標系) v = 0 ,故 p = γm v = 0

得 E2 = m2 c4,即

E = m c2

 

2005年,世界物理年

 

另一種推得 E = m c2 的方式

愛因斯坦在尋求獲得相對論之能量(動能)之時,藉由考慮低速下動能應該要重現 1/2 m v2 的結果, 發現必需減去一個常數項 m c2 才可得到,

說明如下:

動能 K = (γ - 1) m c2 = m c2/ √[1 - (v/c)2]  - m c2

當 v << c 時, 泰勒展開 γ= 1 + 1/2 β2

驗證:泰勒展開 γ= [1 - β2](-1/2)  = 1 + (-1/2) [1 - 0](-3/2)  (-1)β2 + ... = 1 + 1/2 β2 + ...

 

實驗證明

粒子 (μ) 衰變的生命期

高速移動者生命期變長

 

被帶上飛機(繞地球四圈)的原子鐘

的確與地面上的不同

 

其他相對論的證據

beta-射線在磁場中彎折的角度,與質量 (動量) 有關

原子堛漯韖速的電子,有效質量 (動量) 要修正

相對論量子力學-電子自旋的發生

 

 

廣義相對論

引力與運動的加速等效

空間(時空)受物質彎曲

愛因斯坦方程式

方程式的樣子如下:

Gμν - Λ gμν = k Tμν

上式的意思是

時空曲率 - 宇宙項 = 物質密度

其中 Λ是宇宙常數、k 是重力常數。媕Y為了營造出恆定宇宙(否則原方程式的解非膨脹即收縮),而設的扺消項。

1929 年在哈伯得到宇宙膨脹的證據時,愛因斯坦自稱這是他一生最大最錯誤。(有數據支持宇宙膨脹是加速之後,有人因此說,難到愛因斯坦的宇宙項終究還是加對了嗎?)

 

黑洞

這是愛因斯坦方程式的一種解,質量密度大得時空彎曲到連光都出不來。

 

宇宙膨脹

這也是愛因斯坦方程式解的的一種解,但注意質量的附近並未膨脹。

 

實驗證明

太陽背後的星光(重力透鏡)(課文開章圖則為銀河系的)

 

水星公轉(近日點、遠日點)的進動

 

相對論在生活科技上若應用

全球衛星定位系統(GPS)

http GPS 1, 2

http 原子鐘

狹義與廣義相對論都有用到

狹義:衛星對地面有速度

廣義:衛星與地面受重力不同

原子鐘之間的同步化是精確到 10-13,而以衛星速度 4 km/s ,其時間膨脹與否的相對誤差是 10-10,看雖不大,但比原子 鐘之間的同步能達到的精準度還差一千倍,不作修正將使定位結果大大失準。