Ch.1 晶體的概念

 

學習固態物理的目地，是為了研究及了解材料（有用的物質叫材料，有用的能量叫能源）。

各種不同的材料皆是週期表中的元素原子所組成，其成份與排列方式的不同則造成不同材料特性的千變萬化。

其中具有晶體形式者，由於其簡單性一直是人類研究及應用的對象。

在ICSD物理結構資料庫約有十萬種已知的晶體，為了多識草木鳥獸之名，就要靠分類。所幸元素雖然有很多種，但（常見的）原子在晶體內的排列方式卻不會很多。

名詞定義

晶體結構（crystal structure）：

代表原子在空間中排列的方式（相對關係），因此很多種晶體材料都屬於同一種晶體結構，晶體結構的命名常以最常見的礦物中具有該晶體結構者，如鑽石結構，氯化鈉結構（也叫岩鹽結構）、閃鋅礦（硫化鋅）結構、黃銅礦結構。

1.1.1 Why crystalize ?

重要事例：

(1) 還沒有完整的答案，想法之一是：鄰近相同 ... 。

單元與其他單元之交互作用越複雜者，越難結晶；反之，越簡單者，越容易。

在思考與理解為何原子的聚集會整齊排列成有週期性的晶體，要注意到下列事實：

原子及分子是有體積的，考慮原子或分子如何排列成晶體，packing（堆疊）很重要的因素。同樣大小的鋼珠或撞球堆靠在一起，很容易就可以構成規則排列，不同大小的鋼珠混在一起，我們可以想像要形成規則排列是極為不易的。

不同種類元素放在一起是會發生電荷轉移的（因為每種元素的游離能與電子親和力各不同），因此原子的帶電有正有負，若不做交錯的有序的排列，則靜電位能會很大，如此

電中性原則（charge neutrality principle），在決定原子如何排列成固體有很大的影響。也就是說，如果有一群原子，大自然會要求它們盡量排成不帶淨電荷。比方說，排 Na+ 與 Cl- 時，不會 Na+全在一邊，Cl- 全在另一邊。同理，如果某種組合有電偶極，也會讓多個電偶極單元做反向排列而降低電位能。如此一來，多個原子放在一起會就自己採取盡量均勻的排列方式。

不具離子性的化合物或單一元素所形成的晶體（如矽），很多都是藉著共價鍵的形成而把原子結合在一起。一個原子能具有的共價鍵數目及方向取決於其外層電子（價電子）的組態，每個原子被看成一個積木單元，它們有固定的接點及方向來與其他原子連接。碳能形成 sp2 的石墨結構與 sp3 的鑽石結構，就是靠共價鍵的作用。

長鏈狀的有機高分子，如多條絲線互相糾纏在一起而沒有特別明顯的低能量排列組態，因此也就很難有結晶的狀態（相）了。

(2) 有溫度時，隨著昇溫會有多種相變。

(3) 自然界的真實晶體多有雜質或缺陷。

1.2 2D Lattice

2D 比 3D 容易先學，基本定義在 2D 都可以學到，然後可以直接推廣到 3D。
 
 

定義 Bravais lattice（非常重要）

"A Collection of points in which the neighborhood of each point is the same as the neighborhood of every other point under some translation" is called a Bravais lattice.

在 2D 所有 Bravais lattice 皆可由 R = n₁ a₁ + n₂ a₂ 其中 n₁、n₂ 是整數，且各 a_i 必須線性獨立。

什麼叫 "線性獨立" ?

一組向量的集合 {ai} 其中任何一個向量都無法以剩下的其他向量作線性組合來表示出，則這一組向量是線性獨立的。另一種檢測方法：若要讓 c1a1 + c2a2 + c3a3 + ... = 0 只可能發生在各 ci 全部為零，這是事實的話，則這樣的一組 ai 必定線性獨立。（其實反之亦然：若 ai 線性獨立，則讓 c1a1 + c2a2 + c3a3 + ... = 0 的唯一可能是各 ci 全部為零。）

 

1.2.2 介紹五種（開始有分類的意味）

前輩科學家依對稱性把二維的 Bravais 格子分為五類：（請自行參考課文中的圖）

Square Lattice：（正方格子）
具有 x-軸與 y-軸的反射對稱，以及 90 度的旋轉對稱。

Rectangular Lattice：（矩形格子）
當上面的 square lattice 被沿著一個軸壓縮，就會失去 90 的旋轉對稱而只剩下兩個軸的反射對稱。

Hexagonal Lattice： （六角格子，也叫三角格子）
它在以 x 及 y 軸為中線作反射，以及旋轉 120 度後都是不變的。

Centered Rectangular Lattice：（有中心的矩形格子）
它來自上述六角格子受到壓縮而失去了 120 度旋轉的不變性。

Oblique Lattice：（歪斜格子）
任意選取兩個格子週期 a 與 b 而不具特殊對稱性的都歸屬這一類。但注意，它至少仍具備 r → - r 這種逆轉對稱（inversion symmetry）。

1.2.3 Lattice with Bases

 
(1) 在此要強調，每一（格子）點（在平移下）其週圍的環境都要一樣，才叫 Bravais lattice。

(2) 又，部分自然界格子並不是，而是在 lattice point 位置上擺上一模一樣的“粒子”。 在自然界我們會看到的週期格子點或物件的排列，很多都不是 Bravais 格子，而是 Bravais 格子再套上所謂的“基底（basis）”。這種類形的格子的產生方法是先以 Bravais 格子作開始，在其每個格子點上以另一組點或物件的中心座標取代該格子點，有點像種東西那樣把物件（可以是一個或多個一組）種在原來 Bravais Lattice 的格子點上。

範例：蜂巢式格子

課文中提供了一個蜂巢式格子的範例，請大家務必自行參考理解（並見圖 1.4）。

(3) 如此有可能會部分地破壞對稱性。見圖 1.5

1.2.4 Primitive cell

晶體是週期性的,想要描述不太複雜，小一點 cell 就好，大小是最小的。

(1) 不是唯一

(2) 一定會有同樣體積

1.2.5 Wigner-Seitz cell (of a Bravais lattice)

(1) 標準建立 primitive cell 之方法

(2) 此 cell 保有 symmetry of crystal（這本來不一定要這樣，見 Fig1.6(A)(B)）

(3) 這樣做出來，包到的範圍都是離 lattice point 最近的可能。

(4) 其實 non primitive 也常用，見 Fig1.3 Central Rectangular。
 

 

 
學習目的：（即為什麼有用）

(1) 實驗觀察到的現象（參見 Ch.3：散射）亮點完全由對稱性決定。
（以前拿著晶體一照 X-Ray 馬上看得到的東西就是對稱性）

(2) 薛丁格方程式的解在週期性位勢中，若有考慮對稱性則可以大大地簡化。

我們有興趣知道若拿起來，平移它，移動它，在放下去而與原來的完全重合。

G₀ = a + R(n,q ) （我們要知道有哪些可能）

所有這樣的運算元（operation）會形成一個群（什麼是群 (group)？定義見 7.3 節 p.172）

 

1.3.2 平移群與點群

空間群有兩個重要的子群（sub group），即它是子集合而且本身也形成一個群，分別是平移群及點群：

(1) Translation group: 平移，（primitive vector 的整數倍）

(2) Point group: 以任何晶格點中心，做平移、反射、及反轉。

如何區分是不是同一種對稱？ 見圖 1.9

例：rect. 及 centered rect. 它們的 primitive vector ...