牛頓法在前面有介紹，若是用多維度的符號，它的關鍵是是利用斜率找出 dx ：
我們前面有看過牛頓法的缺點，也就是它利用猜測點處的函數值除以該處的斜率（外帶一個負號）而預測下一步的這種作法，有時會把下一步帶出有效範圍外（在根的旁邊有一個小坑的時候，就容易發生這個現象），或是恰巧陷入往復不止的無窮迴圈。
這些問題，都跟直接使用斜率資訊（即近似函數為線性）預測下一點的步幅有關。換句話說，牛頓法的預測步有時衝得太快太多，即便是落入小坑洞中，只要能正確偵測到是停在坑底的狀況，也都還可以另外猜測點而重新開始，但牛頓法碰到這種狀限則會射出範圍外太遠。
其實，說牛頓法會有衝得太快這種傾向，真的是很貼切。
在前面的單元談牛頓法，有提到找極小的方法並不能套用用在（牛頓法）求根的問題上 (NR 9.6)。在有補救牛頓法之主要缺點的情況下，找極小的策略就可以幫助牛頓法變成一個可靠有效的演算法）。
斜率方向上保證有最小值，只要 dx 夠小的話，大家可直觀想像或參看課本公式。也就是說，我們不能完全相信牛頓法的步輻大小，但方向則可以。如果用公式來解讀，見下面兩式的定義與推導：
這裏所給出的訊息是，牛頓法的方向的確能夠讓原函數的平方變小，也就挾帶了能夠找到根的潛力。如果斜率的方向是對的，我們把牛頓法的步幅走小一點，則保證能夠把原函數的絕對值變小，如此必然讓原函數更接近根了。這個想法引發線性搜尋的策略，也就是在保有原牛頓法方向的情況下，測試並調節其長度以達到對其平方函數找極小。如果陷入無根的小坑，則會再另找起點重新搜尋。
線性搜尋與倒退追蹤 (Line searching and Backtracking) 是兩個主要的策略，細節的公式推導 (9.7.6) ~ (9.7.14) 可參考課文。
需要用到以下的副程式或函式，共六個
newt：全域收斂型牛頓法的主要副程式
lnsrch ：線性搜尋，由 newt 叫用
fmin ：求函數平方的值，是要被極小化的對象
fdjac ： 給函數 fvec 就可以得 Jacobian
ludcmp：LU 分解法程式
lubksb：LU 向後取代求解程式
使用 newt 的範例主程式，反而相當簡單，只要給初始猜測的向量，如下例：
program newt_main
implicit none
integer n,i,i_again
parameter (n=2)
real x(n)
logical check
100 write(*,*) 'Type in the vector x(1:',n,') as initial guess :'
read (*,*) (x(i),i=1,n)
c "n" is used to declare x(n) in subroutine newt, we therefore need
c to make "n" an parameter in the main program.
call newt(x,n,check)
write(*,*) 'The resulting root vector is :'
write(*,*) (x(i),i=1,n)
102 write(*,*) 'Find root again ? (1=YES; 0=NO)'
read(*,*) i_again
if (i_again.eq.1) goto 100
if (i_again.ne.0) goto 102
end
subroutine funcv(n,x,f)
integer n
real x(n),f(n)
f(1) = x(1)**2 + x(2)**2 - 25
f(2) = x(2)
end