凝體的熱幅射
以下為鐵塊一端加熱後之模擬畫面
真實照片
溫度與顏色的簡化示意圖
(高檔螢幕可調"色溫")
頻率作橫軸
以波長作橫軸
為什麼要研究這個？當時世界大戰前的局勢，鍊鋼為重要技術，希望有由顏色(光譜)精確測得測量溫度的方法。（量額溫所用的原理相同）（另一個理由，熱絲電燈泡的研究 影片）
理想化的模型－黑體
一般而言，熱幅射光譜裏的微細結構與熱體的組成物質種類有關，但從實驗知道有一類的熱體則呈現共同的熱幅射光譜形狀，它們被稱作是黑體，其表面因對各種波長的光皆吸收而呈現黑色。實作的情況，可以在物體的外表覆蓋一層黑炭灰，即成為黑體。古典熱力學可說明凡是黑體都有相同的幅射能量與頻率關係分佈形式（即光譜），但卻無從說明實驗上量到的形狀為何是那樣（與預測差蠻多的，見後）。
黑體幅射與空腔幅射
另有一個黑體的例子，對於理論探討特別有幫助，即一個理想的空腔。
觀念預備
一個 mode 就是一個自由度。
該 mode 的能量 Epsilon 的大小，取決於彈性體振幅的大小。
熱平衡狀態下，某個 mode 振幅(能量)大小，遵守波茲曼分佈。
推理架構
經千錘百鍊驗證的古典物理，卻無法解釋熱幅射譜（幅射 vs 頻率）高頻的部分。
簡單的幾何推導，說明頻率越高，個別駐波模式（自由度）越多，呈平方成長。
振子的能量，直接連結振子的振幅（位能 正比於伸長量平方）
為了符合實驗，怎麼讓高頻振子，熱平衡時不分到能量，而低頻的則可以？
振子的振幅(能量)，如果不是連續而是有固定基本單位（頻率相關），上述期待就可以實現。
古典理論
如何看上面的實驗結果？不同頻率（或波長）波段的能量互相交換，所累積多寡不一樣，形式一個分佈，而此分佈的形狀隨溫度改變。
能量均分原理
在平衡的情況下，每個自由度會分到一樣的能量 1/2 kT。簡諧振子的系統，位能部分會和動能部分會分到一樣多的能量，因此兩個 1/2 kT 合起來就是一個 kT 了。
每個駐波 mode 會是一個自由度嗎？每個 normal mode 就之一個自由度（N 個粒子，即 3N 自由度的系統會產生 3N 個 normal mode） 。各自獨立的鈍氣原子氣體是如此、雙原子分子構成的氣體是如此（詳見雙原子分子氣體的比熱問題）、全部原子都互相吸引而內聚的液體，或原子間以鍵結固定起來而只剩振動的固體，也都遵守這個能量均分原理。
在此提供一個圖像，試想，用彈簧一個接一個串起來的質量塊，將一塊拉離其平衡位置後立即釋放，問振動會留在那顆被拉以及附近的質量塊？還是會遍及所有的質量塊？答案是，能量會散佈分配到所有可能的模式中。
電腦模擬（自行習作）：以彈簧－質量串列來模擬能量均分現象
延伸議題：Fermi–Pasta–Ulam
分析並算計駐波模式
將上述觀念用在空腔幅射內的駐波（駐波是空腔內電磁波唯一可持續存在的振動模式），一種可能的駐波就是一個 normal mode，一個獨立的自由度，因此根據能量均分原理，它只能分到一份 1/2 kT 的能量。現在我們有一個可以評估各頻率（波長）釋放多少能量的基礎了，我們只需要分析每種特定頻率能在空腔中建立多少不同的駐波模式，若多，則該頻率分到的能量就多，若少，分到的能量就少。
這樣所分析出來的 (不正確的) 能量密度分佈為
請注意，這個表示式，意味著能量密度是以頻率的二次方關係增加（這與實驗不符，詳圖見後，事實上在高頻時，熱幅射的能量密度是隨頻率升高遞減的），很大的原因，是熱平衡下一個頻率為 ν之 (古典)振子的平均能量，總是 k T。大家在後面將會看到，考慮了能量不連續的量子效應後，同樣頻率為 ν之 (量子)振子，其平均能量隨頻率的增加而減小得更快，抵消了古典式中 ν平方的效應，進而造成整體幅射能量密度在高頻時衰減。
上式的獲得，來自兩個部分，分別是 (1) 頻率 ν 有多少振子(駐波)，以及 (2) 每個振子 (駐波)含多少能量？
(1) 純幾何，考慮駐波：
2 a = n λ = n (c/ν)
n = (2 a / c) ν
如此, 得 (駐波的) mode number 為
請注意上式所句有的頻率平方屬性
補充：一條弦有多少自由度？
答案：每個粒子在 3 個方向上可移動，自由度為 3。
N 個粒子耦合在一起有 3 N 個 modes (或稱 normal modes)，等同於 3N 個自由度。
想像串在一起的 N 個粒子形成一條弦，自由度為 3N，連續弦由無窮多小質點構成， 自由度為無限，可容納無限種駐波。因此，要想使用統計力學上的解釋，還是需要把原子圖像考慮進去。
問：為什麼每一個不同的駐波模式，就算一個自由度？
答：運動方程式的解，互不相干者，就是不同的自由度。例如，無交互作用的理想氣體，每個粒子可有三個獨立不相干的飛行方向，就算了三個自由度。反之，兩個粒子完全黏合在一起，自由度還是只有三。另外，兩個粒子用無限堅硬鏈相連接，則只剩下五個自由度。
（那，一個連續彈性體有多少自由度？）
(2) ν 與 EM 能量ε關係 ? 無關 !
根據統計力學，波玆曼分佈描述了力學系統之能量ε與溫度 T 如何決定該狀態出現的機率 P ： (定量交換能量時，恪守能量守恆，可得 波玆曼分佈)
（即事件發生之機率，與該事件總能量及當時整個系統溫度有關）其中的振子能量 ε ，對某頻率電磁波而言（它是一個 SHO，動能得 1/2 、位能得 1/2，故為 kT。另外，它是一個橫波，故有兩個自由度），其在溫度 T 時的平均能量是
如下二圖 (上 : 能量分佈的機率密度函數, 下 : 能量乘上能量分佈的機率密度函數, 總和起來是平均能量)
上上圖表示，熱交換所造成振子(駐波)能量高低變化，更常見低能量的時候，很高能的時刻罕見，遵守波玆曼分佈。而上圖則表示，該振子(駐波)之幅射能量密度的峰值約在 kT 附近，平均值則恰為 kT。
古典理論的問題
Mode number 與
Rayleigh-Jeans 公式
上圖錯得這樣離譜, 但使用的物理又如此基本, 想必有重要關鍵被忽略。
普朗克的改造
普朗克鑽研黑體幅射的問題多年，想從理論上找一個理論來完全解釋其頻譜與溫度的關係
Eisbrg & Resnic 量子物理教科書的第二版提到，在 1900 年普朗克提出一個分佈來同時符合 "插值，interpolate" 高頻時的 Wein 公式及低頻時的 Rayleigh-Jeans 公式。（但同一教科書的第三版又選擇不去介紹這些細節。）
亦參見 維基百科 Planck's law
以下是他著名的 (正確的) 光譜能量密度公式
其想法如下：
下面笫一張圖，是振子能量為 Epsilon 的駐波，
他含蓄而保留地引入 "熱(電磁)幅射的能量" 是量子化的觀念，如此導致：
(0) 如果一個振子能量連續，依古典理論之結果，平均能量恰為 kT
(1) 如果該振子能量不連續，但 Δε << kT，平均能量仍接近 kT
(2) 如果該振子能量不連續，但 Δε ~ kT，平均能量小於 kT
(3) 如果該振子能量不連續，但 Δε >> kT，平均能量 << kT
上述結果的圖像見下列圖示：
注意到上面 (1) 與 (3) 的情況，為因應低頻與高頻的能譜結果，普朗克兩種都需要（即他想要低頻振子不連續級距小，高頻振子不連續級距大），他因此假設
故令
考量能量不連續且每個能量單位（量子）是正比於幅射駐波頻率的情況下，按波玆曼分佈重新去平均能量的結果（過程見 p0、p1）得到如下表示式，即一個 ν 的駐波在溫度 T 時的平均能量 （伏筆是，此平功能量越大，幅射放出之能量越大）
請注意，普朗克並未改變古典物之所建立的波玆曼分佈，它只是要求單一電磁駐波模式的能量大小不是連續而是離散的。具體地說，古典物理的框架下與振子能量有關的因素之一是振幅，振幅越大，則能量越高。至於振幅變化的形式與範圍，則是連續的大小變化。
因此，在溫度為 T 時的幅射能量密度是（要乘上同為 ν 的駐波有多少個，從前面的態密度分析， ν值越大，同為 ν 的駐波數越多，所以這個量要乘上一個 ν駐波的能量密度）
他透過與實驗光譜比對得得到 h 值
如此與實驗結果比較，不管是低頻、中頻或高頻，都符合得近乎完美。
