馬克斯威爾方程式、物質的磁性、電磁波

 

馬克斯威爾方程式

 

磁場的高斯定律

磁單極(目前所知)並不存在

ΦB = ∫CS B · dA = 0

比較電場的高斯定律

ΦE = ∫CS E · dA = qenc / ε0

磁折成幾段,每一段都變成磁鐵,各自有 N、S 極,如圖 32-2

討論題:所以,打斷的磁鐵,約末自已可以吸在一起保持原來的形狀,對嗎?

 

感應產生的磁場 (Induced Magnetic Fields)

法拉第感應定律是 "磁變生電"

CL E · ds = - dΦB / dt

而馬克斯威爾感應定律則是 "電變生磁"

CL B· ds = μ0ε0E / dt

實驗證明的確如此。

這種感應的一個特殊例子是正在充電中的電容器

 

安培-馬克斯威爾定律

回憶安培定律

CL B · ds = μ0 ienc

而前一小節的馬克斯威爾感應定律等號左邊,也出現同樣的磁場環路積分,我們可以合併這兩個方程式:

CL B · ds = μ0ε0E / dt + μ0 ienc

稱為 安培-馬克斯威爾定律

 

位移電流

這是馬克斯威爾最後統合四條一組方程式的最後一塊拼圖(達成公式的美麗與完整)。我們看上面的 安培-馬克斯威爾定律之等號右邊的兩項,而設想一假想電流,位移電流

id = - ε0E / dt

CL B · ds = μ0 id,enc + μ0 ienc

如此,就都可用電流源來理解磁環路。

位移電流的物理意義

變動中的電場,可視為電容上的充電電荷正在變化數量(因此電力線的數目也才會變化),而能造成電容充電的,正是電流。此電流不是真有電荷傳輸過去,而是累積在電容器上的電荷分離,因此才叫電位移。故造成類似電容器充電的充電效應的假想電流,叫位移電流。

 

求感應磁場

對半徑 R,正在充電的平板電容,我們可用 id 來求感應磁場的大小,電容之內距中心為 r 的點其磁場大小為,

B = (μ0 id / 2πR2) r

在電容器外則是

B = μ0 id / 2πr

 

馬克斯威爾方程式(組)

在沒有介電質或磁性質存在的情況下,四條方程式整理如 表 32-1 :

高斯定律
磁學高斯定律
法拉第感應定律
安培-馬克斯威爾定律

 

馬克斯威爾方程式(組)也有微分型式

這四個一組的方程式描述所有巨觀的磁、電、光現象,甚至光的速度也藏在其中。固定的光速值還引發了近代物理的新革命。

 

 

物質的磁性

 

磁鐵

地磁的發生,電動機原理

http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamo_theory

研究海洋山脊兩側的板塊(見圖),約每百萬年反轉

http://www.sciscape.org/news_detail.php?news_id=1477

 

磁性與電子

自旋磁偶極

μs = − e/m S

S 不同於的古典力學中的角動量,它有兩個要點:

(1) S 本身無法測量,反而是沿任一軸的分量可以被測量

(2) S 的可測量分量是量子化的

Sz = ms h/2π,其中 ms = ± 1/2 (h/2π= h,故 Sz = msh

當電子置於外加磁場 Bext 中,

U = −μs· Bext = − μs,z Bext (其中 z 為 Bext 之方向)

 

把電子想像成水球的模型來理解 "自旋"(但事實上並不旋轉),見圖 32-9

質子與中子也各有其角動量及磁矩,對質子而言此兩者同向,對中子而言此兩者反向,這些偶極矩對原子磁場的貢獻比電子的小一千倍。

 

 

軌域磁偶極

μorb = − e/2m Lorb

Lorb 不能被測量,只有沿任意方向的分量,如 Lorb,z,可以

Lorb,z = ml h ,ml = 0, ±1, ±2, ±3, ... , ± max

U = −μorb· Bext = − μorb,z Bext (其中 z 為 Bext 之方向)

 

電子軌道的迴路模型

假設電子以大於原子半徑很多的距離繞原子作圓周運動

μorb = i A

試著定 i

電荷 e、週期 T = 2 π r / v

i = e / T = e v / 2 π r

將迴路面積 A = π r2 連同 i 一起代入,有

μorb = i A = e v r / 2

而角動量 l = m (r × v)

Lorb = m r v sin 90° = m r v

μorb = − e/2m Lorb

μorb = − e/2m Lorb

這有符合前面軌域磁矩的結果。

請注意此式不適用於在原子內之電子,因與其他理論及實驗不符合。

 

非均勻場中的迴路模型

見圖 32-11,磁偶極矩有受到磁力。

dF = i L × Bext

 

磁性材料

反磁性

大部分材料屬之。在外加場中被引發對抗(排斥)外加場的弱磁矩。

順磁性

過渡,稀土元素,原子上有獨立的磁矩。

鐵磁性

原子上的磁矩交換耦合而排列起來。

 

反磁性

利用下面圖 32-11,討論楞次定律造成之磁偶極矩

立材料產生反向的磁矩,若該磁場非均勻,則反磁材料受斥力,將反磁材料從磁場強處移至弱處。

懸浮於磁場中的青蛙,見圖 32-12

磁瓶捕捉在此得到解釋

 

順磁性

在外加磁場影響下,原子磁排趨向越整齊排列而有淨磁矩。此磁矩並且被被磁場吸引。

磁化強度 M = 測得之磁矩 / 體積

M = C Bext / T

見圖,僅適於小 Bext / T 值

 

鐵磁性

磁域(磁區)

藉由所謂的 "交換耦合" (exchange coupling),鄰近原子上的磁矩會排列起來,形成強大的磁場(磁矩)。 叫自發性磁化

即使原子排到整齊的單晶形態,也有不同磁域,原子磁矩只在磁域中排列整齊,不同磁域開磁矩方向不同而抵消。

若超過材料的居禮溫度,則不再有自發磁化現象而磁域中的磁矩不再整齊排列,導致磁性消失。(大同電鍋煮好飯自動跳保溫就是利用磁鐵的居理溫度。)

 

壁畫記錄著地球磁場

紅色顏料赤鐵礦一微顆粒即是單一磁域,故有特定偶極矩。作畫時頦料吳懸浮液形態,磁矩受地磁影響指向南北,乾後方向固定。利用年代久遠的壁畫可分析出當時地磁之方位。

 

磁滯

磁滯曲線,見圖

"記憶" 作用

"記憶" 作用對記錄媒體(如磁碟片)很重要。(否則就記不了資訊了)

 

 

 

 

 


 

電磁波

 

馬克斯威爾的彩虹

馬克斯威爾的重大成就是證明了光就是電場與磁場所形成的電磁波。

 

行進電磁波的的定性分析

產生行進電磁波的裝置

見圖 33-3,一個 RLC 電路並配合天線,就能夠發射電磁波。

 

行進電磁波的重要特徵

1. EB 各自垂直於行進方向

2. EB 互相垂直

3. E × B 即是波行進的方向

4. 場總是依正弦型式在改變

 

E = Em sin(kx - ωt)

B = Bm sin(kx - ωt)

波速

c = 1 / √(μ0ε0)

E / B = c

 

一個最難以理解的波

電磁波並沒有(不需要)傳播的媒介,光速在所有座標系中都之一樣的值。它與時間一起,是時空間結構的一部分。

 

行進電磁波的的定量分析

電場與磁場們雙重感應可提供我們光。

推導 Em / Bm = c

在 dx 的距離之兩端,電場為 E 與 E + dE,取 h 作長而與 dx 的寬形成的面積堙A討論該面積迴路中的感應磁場,利用法拉第定律

CL E · ds = − dΦB / dt

CL E · ds = ( E + dE ) h - E h = h dE

ΦB = ( B ) ( h dx ),故

B / dt = h dx dB/dt

代入法拉第定律,得

h dE = - h dx dB/dt

即 dE / dx = -dB / dt

事實上,E、B 皆為時間與空間的函數,上式應作

∂E / ∂x = -∂B / ∂t

我們把 E = Em sin(kx - ωt) 及 B = Bm sin(kx - ωt) 當作是己知,則有

∂E / ∂x = k Em cos(kx - ωt)

∂B / ∂t = - ωBm cos(kx - ωt)

故有

k Em cos(kx - ωt) = ωBm cos(kx - ωt)

k Em = ωBm

我們知道行進波的波速(相速度)是 ω/ k ,故

Em / Bm = ω/ k = c

 

推導 c = 1 / √(μ0ε0)

見課文

圖 33-7

討論 dx 範圍兩側的磁場值 B 與 B + dB,利用磁場環路積分與電通量變化關係的 安培-馬克斯威爾感應定律

CL B · ds = ε0 μ0E / dt

CL B · ds = - (B + dB) h + B h = -h dB

請注意由於迴路方向的設定,上式的第一項是負的

ΦE = ( E ) (h dx)

對上式微分

E / dt = h dx (dE / dt)

另外注意 上式對時間微分不會作用到 dx,因為這堭敦Q的函數是場,對場而言 x 只是空間的舞台自變數,不像是粒子的軌跡函數 x(t) 那樣。

全部代入安培-馬克斯威爾定律,得

-h dB = ε0 μ0 h dx (dE / dt)

-∂B / ∂x = ε0 μ0 ∂E / ∂t

現在代入 B、E 的行進波的正弦函數

- k Bm cos(kx - ωt) = -ε0 μ0 ωEm cos(kx - ωt)

k Bm = ε0 μ0 ωEm

Em / Bm = 1/ ( ε0 μ0 (ω/k) ) = (1/ ε0μ0 ) (1/ ( ω/ k ) ) = 1/ ε0μ0 c

由前面己知的 Em / Bm = c,則得

c = 1 / √ ε0μ0

(從這塈A可以看到,光速就藏在馬克斯威爾方程式組堙C光速的測量,可以分別做電容及電感實驗來量到。)

 

能量傳輸與波印亭向量

S = 1 / μ0 E × B

S = 1 / μ0 E B

因為 E / B = c

S = 1/(cμ0) E2

以上是瞬間的能量流率

I = Savg = 1/(cμ0) [ E2 ]avg = 1/(cμ0) [ Em2 sin2(kx - ωt) ]avg

Erms = Em / √2

I = 1/(cμ0) Erms2

問,這堶措q場佔大部分嗎?

由電場的能量密度出發展開

uE = 1/2 ε0 E2 = 1/2 ε0 (cB)2 = 1/2 ε0 c2 B2 = 1/(2μ0) B2 = uB

恰好等於磁場能量密。因此,這堶悸犒q場能量密度與磁場能量密度是一樣大的。

 

強度隨著距離而改變

一個真實的電磁幅射源,其強度隨距離的變化是複離的

基於能量守恆,考慮為點光源

強度 = 功率 / 面積 = Ps / 4 π r2

 

光之幅射壓

光不但有能量,也有動量。

完全吸收所造成的動量改變

Δp = ΔU / c

沿原路徑所造成的動量改變

Δp = 2 ΔU / c

若是部分吸收部分反射,則動量改變介於上兩者之間。

由牛頓定律,動量變化與力之間的關係為

F = Δp / Δt

另外,為表稍後要以幅射強度 I 來表示幅射壓,請注意強度是

強度 = 功率/面積 = (能量/時間)/面積

故有

ΔU = I A Δt

則,對完全吸收

F = Δp / Δt = ΔU / ( c Δt ) = I A Δt / ( c Δt ) = I A / c

對完全反射

F = Δp / Δt = 2 ΔU / ( c Δt ) = 2 I A Δt / ( c Δt ) = 2 I A / c

則幅射壓,對完全吸收為

pr = I / c

對完全反射

pr = 2 I / c

 

幅射壓玩具 Radiometer

http://www.youtube.com/watch?v=MbdPgc7e0R0&feature=related

 

 

偏振

電場是在一個平面上振盪,見圖 33-9

 

偏振光

電視臺發出的電磁波有特定偏振方向,一般光源或日光則是隨機偏振,也叫非偏振

可藉由通過偏振片而把非偏振光變成部分或完全偏振光,此因偏振片上有排列整理如犁溝的長鏈分子。

 

穿透之偏振光的強度

I = I0 / 2

對己偏振的光而言,若 θ 為與偏振片允許電場通過方向之夾角

Ey = E cosθ

I = I0 cos2θ

見 例題 33-2 之圖

 

 

偏光片的生活應用

3D 電影

 

釣魚、開車用太陽眼鏡

 

透過緩慢旋轉的偏光片來看書本印刷油墨所發出來的炫光(教室現場自製影片,點擊下圖即可撥放)

 

旋光性與糖度檢測

糖分子有旋性(如左右手有鏡像性稱,但左右手卻不一樣)

 

延伸補充:反射與折射的原理

力學是物理學的核心理論,物理的定律描述物理量之間的關係,而力學則試圖系統化地建立守恆量與守恆律(對稱性)。力學的策略要找常數(守恆量),如能量,除此之外,力學也建立一些量(例如作用量),而那些量的極值會給出物理定律。

費瑪的最速路徑原理

從一點到另一點,光走 δL = 0 的路徑,其中 L 是折射率乘上路徑的和。

推導折射定律

圖待植入Pauli Lecture of Physics Vol.2 Fig.1.2

L = n1 P1Q + n2 P2Q

L = n1 a1/cosθ1 + n2 a2/cosθ2

又,輔助條件

A1A2 = n1 a1tanθ1 + n2 a2tanθ2 = 常數

利用 Lagrange multiplier 方法

δL + λ δ(A1A2) = 0

δ( n1 a1/cosθ1 + n2 a2/cosθ2 ) + λ δ( n1 a1tanθ1 + n2 a2tanθ2) = 0

θ1 與 θ2 為獨立的自變數,依變分法原式整理為

a1 ( n1sinθ1/ cos2θ1 + λ 1/ cos2θ1) δθ1 + a2 ( n2 sinθ2/ cos2θ2 + λ 1/ cos2θ2 ) δθ2 = 0

則 δθ1 與 δθ2 的係數各自必須為零,即

n1 sinθ1 + λ = 0 ,且

n2 sinθ2 + λ = 0

消除上兩式之 λ,則

n1 sinθ1 = n2 sinθ2

得證。

 

推導反射定律

見圖 Fig. 1.3

利用輔助線,設定 P 點的鏡像 P* 點(完全沒有影響結果,這只是讓我們容易看圖),則我們基於三角形兩邊和之長大於第三邊:

P0Q' + Q'P* > P0Q + QP*

基於此關係,光學路徑因此是極小值的 PQ 再 P0Q ,也就是

θ0 = θ

得證。

 

反射

見圖 33-15

反射定律

θ'1 = θ1

 

透明介質中的電磁波(折射)

折射定律(斯涅耳定律)

n1 sinθ1 = n2 sinθ2

 

色散

折射率與波長有關

見圖 33-17、18、19

 

彩虹

見圖 33-20

 

全反射

從密介質到疏介質的折射,有可能發至一個情況,即出射角度等於 90 度

n1 sinθ1 = n2 sin 90°

鑽石

光纖

 

由反射產生之偏振

經由水面或玻璃反射出的光通常是部分偏振或之完全偏振的。偏振的方向是平行於界面。

布魯斯特角

入射、反射、折射所構成的之殊關係

首先,入射角等於反射角,而折射角則取決於折射率,如果反射線與折射線夾角 90 度,則反射線完全沒有電場垂直於界面的成分。

如何理解這個現象?看圖,垂直偏振的折射線其電場與反射線是平行的,可以想像在界面上的邊界條件不符合連續性。

θB + θr = 90°

由折射定律

n1 sinθB = n2 sinθr

代入其和為 90° 的條件

n1 sinθB = n2 sin( 90° - θB ) = n2 cosθB

θB = tan-1 n2 / n1

若入射反射那一側是空氣,則 n1 可當作 1,上式即成為 布魯斯特定律

θB = tan-1 n

 

 

例題

33-2

33-5

 

虛部折射率(吸收)