利用下面圖 32-11，討論楞次定律造成之磁偶極矩
立材料產生反向的磁矩，若該磁場非均勻，則反磁材料受斥力，將反磁材料從磁場強處移至弱處。
懸浮於磁場中的青蛙，見圖 32-12
磁瓶捕捉在此得到解釋
馬克斯威爾方程式、物質的磁性、電磁波
馬克斯威爾方程式
磁場的高斯定律
磁單極（目前所知）並不存在
ΦB = ∫CS B · dA = 0
比較電場的高斯定律
ΦE = ∫CS E · dA = qenc / ε0
磁折成幾段，每一段都變成磁鐵，各自有 N、S 極，如圖 32-2
討論題：所以，打斷的磁鐵，約末自已可以吸在一起保持原來的形狀，對嗎？
感應產生的磁場 (Induced Magnetic Fields)
法拉第感應定律是 "磁變生電"
∫CL E · ds = - dΦB / dt
而馬克斯威爾感應定律則是 "電變生磁"
∫CL B· ds = μ0ε0 dΦE / dt
實驗證明的確如此。
這種感應的一個特殊例子是正在充電中的電容器
安培－馬克斯威爾定律
回憶安培定律
∫CL B · ds = μ0 ienc
而前一小節的馬克斯威爾感應定律等號左邊，也出現同樣的磁場環路積分，我們可以合併這兩個方程式：
∫CL B · ds = μ0ε0 dΦE / dt + μ0 ienc
稱為 安培－馬克斯威爾定律
位移電流
這是馬克斯威爾最後統合四條一組方程式的最後一塊拼圖（達成公式的美麗與完整）。我們看上面的 安培－馬克斯威爾定律之等號右邊的兩項，而設想一假想電流，位移電流
id = - ε0 dΦE / dt
則
∫CL B · ds = μ0 id,enc + μ0 ienc
如此，就都可用電流源來理解磁環路。
位移電流的物理意義
變動中的電場，可視為電容上的充電電荷正在變化數量（因此電力線的數目也才會變化），而能造成電容充電的，正是電流。此電流不是真有電荷傳輸過去，而是累積在電容器上的電荷分離，因此才叫電位移。故造成類似電容器充電的充電效應的假想電流，叫位移電流。
求感應磁場
對半徑 R，正在充電的平板電容，我們可用 id 來求感應磁場的大小，電容之內距中心為 r 的點其磁場大小為，
B = (μ0 id / 2πR2) r
在電容器外則是
B = μ0 id / 2πr
馬克斯威爾方程式（組）
在沒有介電質或磁性質存在的情況下，四條方程式整理如 表 32-1 ：
高斯定律
磁學高斯定律
法拉第感應定律
安培－馬克斯威爾定律
馬克斯威爾方程式（組）也有微分型式
這四個一組的方程式描述所有巨觀的磁、電、光現象，甚至光的速度也藏在其中。固定的光速值還引發了近代物理的新革命。
物質的磁性
磁鐵
地磁的發生，電動機原理
http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamo_theory
研究海洋山脊兩側的板塊（見圖），約每百萬年反轉
http://www.sciscape.org/news_detail.php?news_id=1477
磁性與電子
自旋磁偶極
μs = − e/m S
S 不同於的古典力學中的角動量，它有兩個要點：
(1) S 本身無法測量，反而是沿任一軸的分量可以被測量
(2) S 的可測量分量是量子化的
Sz = ms h/2π，其中 ms = ± 1/2 （h/2π=
h，故 Sz = msh）當電子置於外加磁場 Bext 中，
U = −μs· Bext = − μs,z Bext （其中 z 為 Bext 之方向）
把電子想像成水球的模型來理解 "自旋"（但事實上並不旋轉），見圖 32-9
質子與中子也各有其角動量及磁矩，對質子而言此兩者同向，對中子而言此兩者反向，這些偶極矩對原子磁場的貢獻比電子的小一千倍。
軌域磁偶極
μorb = − e/2m Lorb
Lorb 不能被測量，只有沿任意方向的分量，如 Lorb,z，可以
Lorb,z = ml
h，ml = 0, ±1, ±2, ±3, ... , ± maxU = −μorb· Bext = − μorb,z Bext （其中 z 為 Bext 之方向）
電子軌道的迴路模型
假設電子以大於原子半徑很多的距離繞原子作圓周運動
μorb = i A
試著定 i
電荷 e、週期 T = 2 π r / v
i = e / T = e v / 2 π r
將迴路面積 A = π r2 連同 i 一起代入，有
μorb = i A = e v r / 2
而角動量 l = m (r × v)
Lorb = m r v sin 90° = m r v
μorb = − e/2m Lorb
μorb = − e/2m Lorb
這有符合前面軌域磁矩的結果。
請注意此式不適用於在原子內之電子，因與其他理論及實驗不符合。
非均勻場中的迴路模型
見圖 32-11，磁偶極矩有受到磁力。
dF = i L × Bext
磁性材料
反磁性
大部分材料屬之。在外加場中被引發對抗（排斥）外加場的弱磁矩。
順磁性
過渡，稀土元素，原子上有獨立的磁矩。
鐵磁性
原子上的磁矩交換耦合而排列起來。
反磁性
利用下面圖 32-11，討論楞次定律造成之磁偶極矩
立材料產生反向的磁矩，若該磁場非均勻，則反磁材料受斥力，將反磁材料從磁場強處移至弱處。
懸浮於磁場中的青蛙，見圖 32-12
磁瓶捕捉在此得到解釋
順磁性
在外加磁場影響下，原子磁排趨向越整齊排列而有淨磁矩。此磁矩並且被被磁場吸引。
磁化強度 M = 測得之磁矩 / 體積
M = C Bext / T
見圖，僅適於小 Bext / T 值
鐵磁性
磁域（磁區）
藉由所謂的 "交換耦合" (exchange coupling)，鄰近原子上的磁矩會排列起來，形成強大的磁場（磁矩）。 叫自發性磁化
即使原子排到整齊的單晶形態，也有不同磁域，原子磁矩只在磁域中排列整齊，不同磁域開磁矩方向不同而抵消。
若超過材料的居禮溫度，則不再有自發磁化現象而磁域中的磁矩不再整齊排列，導致磁性消失。（大同電鍋煮好飯自動跳保溫就是利用磁鐵的居理溫度。）
壁畫記錄著地球磁場
紅色顏料赤鐵礦一微顆粒即是單一磁域，故有特定偶極矩。作畫時頦料吳懸浮液形態，磁矩受地磁影響指向南北，乾後方向固定。利用年代久遠的壁畫可分析出當時地磁之方位。
磁滯
磁滯曲線，見圖
"記憶" 作用
"記憶" 作用對記錄媒體（如磁碟片）很重要。（否則就記不了資訊了）
電磁波
馬克斯威爾的彩虹
馬克斯威爾的重大成就是證明了光就是電場與磁場所形成的電磁波。
行進電磁波的的定性分析
產生行進電磁波的裝置
見圖 33-3，一個 RLC 電路並配合天線，就能夠發射電磁波。
行進電磁波的重要特徵
1. E、B 各自垂直於行進方向
2. E、B 互相垂直
3. E × B 即是波行進的方向
4. 場總是依正弦型式在改變
E = Em sin(kx - ωt)
B = Bm sin(kx - ωt)
波速
c = 1 / √(μ0ε0)
E / B = c
一個最難以理解的波
電磁波並沒有（不需要）傳播的媒介，光速在所有座標系中都之一樣的值。它與時間一起，是時空間結構的一部分。
行進電磁波的的定量分析
電場與磁場們雙重感應可提供我們光。
推導 Em / Bm = c
在 dx 的距離之兩端，電場為 E 與 E + dE，取 h 作長而與 dx 的寬形成的面積裏，討論該面積迴路中的感應磁場，利用法拉第定律
∫CL E · ds = − dΦB / dt
∫CL E · ds = ( E + dE ) h - E h = h dE
ΦB = ( B ) ( h dx )，故
dΦB / dt = h dx dB/dt
代入法拉第定律，得
h dE = - h dx dB/dt
即 dE / dx = -dB / dt
事實上，E、B 皆為時間與空間的函數，上式應作
∂E / ∂x = -∂B / ∂t
我們把 E = Em sin(kx - ωt) 及 B = Bm sin(kx - ωt) 當作是己知，則有
∂E / ∂x = k Em cos(kx - ωt)
∂B / ∂t = - ωBm cos(kx - ωt)
故有
k Em cos(kx - ωt) = ωBm cos(kx - ωt)
k Em = ωBm
我們知道行進波的波速（相速度）是 ω/ k ，故
Em / Bm = ω/ k = c
推導 c = 1 / √(μ0ε0)
見課文
圖 33-7
討論 dx 範圍兩側的磁場值 B 與 B + dB，利用磁場環路積分與電通量變化關係的 安培－馬克斯威爾感應定律
∫CL B · ds = ε0 μ0 dΦE / dt
∫CL B · ds = - (B + dB) h + B h = -h dB
請注意由於迴路方向的設定，上式的第一項是負的
ΦE = ( E ) (h dx)
對上式微分
dΦE / dt = h dx (dE / dt)
另外注意 上式對時間微分不會作用到 dx，因為這裏探討的函數是場，對場而言 x 只是空間的舞台自變數，不像是粒子的軌跡函數 x(t) 那樣。
全部代入安培－馬克斯威爾定律，得
-h dB = ε0 μ0 h dx (dE / dt)
-∂B / ∂x = ε0 μ0 ∂E / ∂t
現在代入 B、E 的行進波的正弦函數
- k Bm cos(kx - ωt) = -ε0 μ0 ωEm cos(kx - ωt)
k Bm = ε0 μ0 ωEm
Em / Bm = 1/ ( ε0 μ0 (ω/k) ) = (1/ ε0μ0 ) (1/ ( ω/ k ) ) = 1/ ε0μ0 c
由前面己知的 Em / Bm = c，則得
c = 1 / √ ε0μ0
（從這裏你可以看到，光速就藏在馬克斯威爾方程式組裏。光速的測量，可以分別做電容及電感實驗來量到。）
能量傳輸與波印亭向量
S = 1 / μ0 E × B
S = 1 / μ0 E B
因為 E / B = c
S = 1/(cμ0) E2
以上是瞬間的能量流率
I = Savg = 1/(cμ0) [ E2 ]avg = 1/(cμ0) [ Em2 sin2(kx - ωt) ]avg
Erms = Em / √2
I = 1/(cμ0) Erms2
問，這裏面電場佔大部分嗎？
由電場的能量密度出發展開
uE = 1/2 ε0 E2 = 1/2 ε0 (cB)2 = 1/2 ε0 c2 B2 = 1/(2μ0) B2 = uB
恰好等於磁場能量密。因此，這裏面的電場能量密度與磁場能量密度是一樣大的。
強度隨著距離而改變
一個真實的電磁幅射源，其強度隨距離的變化是複離的
基於能量守恆，考慮為點光源
強度 = 功率 / 面積 = Ps / 4 π r2
光之幅射壓
光不但有能量，也有動量。
完全吸收所造成的動量改變
Δp = ΔU / c
沿原路徑所造成的動量改變
Δp = 2 ΔU / c
若是部分吸收部分反射，則動量改變介於上兩者之間。
由牛頓定律，動量變化與力之間的關係為
F = Δp / Δt
另外，為表稍後要以幅射強度 I 來表示幅射壓，請注意強度是
強度 = 功率／面積 = （能量／時間）／面積
故有
ΔU = I A Δt
則，對完全吸收
F = Δp / Δt = ΔU / ( c Δt ) = I A Δt / ( c Δt ) = I A / c
對完全反射
F = Δp / Δt = 2 ΔU / ( c Δt ) = 2 I A Δt / ( c Δt ) = 2 I A / c
則幅射壓，對完全吸收為
pr = I / c
對完全反射
pr = 2 I / c
幅射壓玩具 Radiometer
偏振
電場是在一個平面上振盪，見圖 33-9
偏振光
電視臺發出的電磁波有特定偏振方向，一般光源或日光則是隨機偏振，也叫非偏振
可藉由通過偏振片而把非偏振光變成部分或完全偏振光，此因偏振片上有排列整理如犁溝的長鏈分子。
穿透之偏振光的強度
I = I0 / 2
對己偏振的光而言，若 θ 為與偏振片允許電場通過方向之夾角
Ey = E cosθ
I = I0 cos2θ
見 例題 33-2 之圖
偏光片的生活應用
3D 電影
釣魚、開車用太陽眼鏡
透過緩慢旋轉的偏光片來看書本印刷油墨所發出來的炫光（教室現場自製影片，點擊下圖即可撥放）
旋光性與糖度檢測
糖分子有旋性（如左右手有鏡像性稱，但左右手卻不一樣）
延伸補充：反射與折射的原理
力學是物理學的核心理論，物理的定律描述物理量之間的關係，而力學則試圖系統化地建立守恆量與守恆律（對稱性）。力學的策略要找常數（守恆量），如能量，除此之外，力學也建立一些量（例如作用量），而那些量的極值會給出物理定律。
費瑪的最速路徑原理
從一點到另一點，光走 δL = 0 的路徑，其中 L 是折射率乘上路徑的和。
推導折射定律
圖待植入Pauli Lecture of Physics Vol.2 Fig.1.2
L = n1 P1Q + n2 P2Q
L = n1 a1/cosθ1 + n2 a2/cosθ2
又，輔助條件
A1A2 = n1 a1tanθ1 + n2 a2tanθ2 = 常數
利用 Lagrange multiplier 方法
δL + λ δ(A1A2) = 0
δ( n1 a1/cosθ1 + n2 a2/cosθ2 ) + λ δ( n1 a1tanθ1 + n2 a2tanθ2) = 0
θ1 與 θ2 為獨立的自變數，依變分法原式整理為
a1 ( n1sinθ1/ cos2θ1 + λ 1/ cos2θ1) δθ1 + a2 ( n2 sinθ2/ cos2θ2 + λ 1/ cos2θ2 ) δθ2 = 0
則 δθ1 與 δθ2 的係數各自必須為零，即
n1 sinθ1 + λ = 0 ，且
n2 sinθ2 + λ = 0
消除上兩式之 λ，則
n1 sinθ1 = n2 sinθ2
得證。
推導反射定律
見圖 Fig. 1.3
利用輔助線，設定 P 點的鏡像 P* 點（完全沒有影響結果，這只是讓我們容易看圖），則我們基於三角形兩邊和之長大於第三邊：
P0Q' + Q'P* > P0Q + QP*
基於此關係，光學路徑因此是極小值的 PQ 再 P0Q ，也就是
θ0 = θ
得證。
反射
見圖 33-15
反射定律
θ'1 = θ1
透明介質中的電磁波（折射）
折射定律（斯涅耳定律）
n1 sinθ1 = n2 sinθ2
色散
折射率與波長有關
見圖 33-17、18、19
彩虹
見圖 33-20
全反射
從密介質到疏介質的折射，有可能發至一個情況，即出射角度等於 90 度
n1 sinθ1 = n2 sin 90°
鑽石
光纖
由反射產生之偏振
經由水面或玻璃反射出的光通常是部分偏振或之完全偏振的。偏振的方向是平行於界面。
布魯斯特角
入射、反射、折射所構成的之殊關係
首先，入射角等於反射角，而折射角則取決於折射率，如果反射線與折射線夾角 90 度，則反射線完全沒有電場垂直於界面的成分。
如何理解這個現象？看圖，垂直偏振的折射線其電場與反射線是平行的，可以想像在界面上的邊界條件不符合連續性。
θB + θr = 90°
由折射定律
n1 sinθB = n2 sinθr
代入其和為 90° 的條件
n1 sinθB = n2 sin( 90° - θB ) = n2 cosθB
即
θB = tan-1 n2 / n1
若入射反射那一側是空氣，則 n1 可當作 1，上式即成為 布魯斯特定律
θB = tan-1 n
例題
33-2
33-5
虛部折射率（吸收）
