電感、 RLC 電路與交流電

 

電磁感應 (Induction) 與 電感 (Inductance)

兩個實驗(磁動生電)

一、磁棒移近移遠,線圈上的電流

二、兩個相鄰的線圈,其一電流開關所造成之另一線圈上的電流

 

法拉第感應定律

法拉第了解到,造成上述兩項現象,是由於線圈內的磁力(場)線數目改變所造成。

ΦB = ∫ B · dA

E = - d ΦB / dt

 

楞次定律

法拉第發表的電磁感應定律原本不包含正負號。不久後,楞次提出一個規則 (rule)(後稱楞次定律)來方便地描述感應電流的方向。這個規則說:感應電流的方向是會讓該電流所產生的磁場來抵抗線圈內磁場的改變。

(這個陳述還好滿好用的,有表達出一旦在空間中建立了磁場之後,有如慣性一般不願平白消失的特性。)

 

電吉他

見圖

 

電磁感應與能量轉換

要促成有抵抗性的電磁感應的現象,就需要用施力作功,即使不考慮電磁感應過程所引發的電磁波,此一作功也會帶來熱耗。在本節我們試著來估算此熱消耗會是多少。

我們要處理的情況,如圖 30-10

(1) 求功率從 P = F v 公式出發

E = - dΦB / dt = d/dt (B L x) = B L dx/dt = B L v

i = E / R = B L v / R

F = i L × B

F = i L B = ( B L v / R ) L B = B2 L2 v / R

P = F v = B2 L2 v2 / R(功率)

另外,

(2) 從熱能損耗 P = i2 R 的角度來看

P = ( B L v / R )2 R = B2 L2 v2 / R(熱能功率)

兩種分析方式之結論一樣。

 

MRI 掃描造成的傷燙

MRI 檢查時身體要躺在平台送入進入強磁場(才能拉開核磁矩),要避免身體與任何導線有兩個接觸點而形成迴路。

 

渦電流 (Eddy Curent)

金屬板在有、無磁場的邊界上移動,相當於磁通量減少,故在有、無磁場交界處會有感應電流。見圖 30-14 (a)、(b)

 

Induction Furnace 感應熔爐

利用高頻的電流變化,線圈內可產生高速變化的磁場。置金屬於線圈內,金屬可被熔化再倒出。

 

電磁爐不能用鋁鍋?

電磁爐 (induction cooker) 就是用高頻電(環)流的磁場變化,但是大部分的市售電磁爐對鋁、銅鍋不適用(不夠熱),為什麼呢?

有電磁爐內建偵測器,鋁、銅鍋不被感測,則線圈上電流不啟動(散熱風扇也不開,可聽聽看)。

 

渦電流不會讓你觸電,因為觸電肇因於電流要流過身體。而渦電流在金屬中走的是封閉的路線,即使身體接觸也不會讓電流流過身體(這取於於電位差)。

 

感應電場

對線圈而言,磁通量變化造成感應電動勢,但更一般性地來說,是因為有感應電場的發生才有感應電動勢,法拉第定律的更一般性寫法是:

CL E · ds = - dΦB / dt

如果要再進一步地知道空間各處 電場的變化,則須仰賴法拉第定律的微分型式(以後會介紹)。

 

電位新觀 (A New Look)

感應電場的電力線形成封閉迴路,而靜電荷產生的電力線則始於正電荷、終於負電荷。(若非常遠處有一個負電荷移開了原位罝,那電力線怎辦?這是題外話,屬電磁波的議題。)

總之,"電位"僅對靜止電荷所產生的電場有意義,對感應所產生們電場則沒有意義"。

 

電感器 (inductor) 及 電感 (inductance)

前例看出線圈可造成感應現象,電路學符號便以螺線圈代表電感器。

定義一個元件的電感為 L

L = N ΦB / i

其中 i 是電流、N 是匝數,ΦB 是磁通量。

 

螺線管的電感

N PhiB = (n l) (B A)

B = μ0 i n

L = N ΦB / i = (n l) (B A) / i = (n l) (μ0 i n) A / i = μ0 n2 l A

因此單位長度的螺線管電感是

L / l = μ0 n2 A

(由此式也可看出,μ0 也可表示為 亨利/公尺)

 

自感 (Self-induction)

在線路中的元件,只要具有透過電流線圈建立磁場的能力,該線圈自然會有磁通量,也因此就有自行發生(電磁)感應 的情況。

關鍵:線圈不只是產生磁場,線圈糸統也有包到自已產生的磁通量

根據電感 L 的定義,它電流大小 i、線圈匝數 N 以及磁通量大小 ΦB 有關。

L = N ΦB / i

N ΦB = L i

由法拉第定律

EL = - d(NΦB) / dt

EL = - L di / dt

以上是自感電動勢

 

RL 電路

圖 30-19 是一個 RL 電路,有 switch 可以切換是否使用電池。

根據迴路規則,按電阻、電感器、電池的存在分別有 - i R 、 - L di/dt 、+ E

- i R - L di/dt + E = 0

L di/dt + R i = E (RL 電路)

這個方程式的解是

i = E / R (1 - e-Rt/L)

時間常數 τL = L / R

當切到無電池的狀態:

L di/dt + R i = 0

其解是

i = E / R e-Rt/L = i0 e-Rt/L

其中 i0 是初始電流

 

磁場中所貯存的能量

根據先前已經建立的結果,電感器的感應電動勢為

EL = L di / dt

故其功率

dUB / dt = EL i = L i di / dt

0UB dUB = ∫0i L i di

UB = 1/2 L i2

(比較電容所貯存的能量:UE = 1/2 (1/C) q2

 

磁場的能量密度

考慮螺線管靠近中間的一段長 l,其截面積 A、電流 i ,管外磁場為零,且管內磁場均勻,因此能量密度

uB = UB / (A l)

前已有

UB = 1/2 L i2

uB = L i2 / 2 A l

其中 L 是 l 長之螺線管的整體電感,有公式 L / l = μ0 n2 A ,其中 n 是單位長度內匝數,代入上式則

uB = 1/2 μ0 n2 i2

更重要的是螺線管內磁場與電流的關係是 B = μ0 i n,故

uB = B2 / 2 μ0

以上雖是由螺線管導出,但對任何磁場皆成立。

( 比較電場的能量密度 uE = 1/2 ε0 E2

 

互感

考慮兩組很接近的線圈,

先以 Φ21 代表 由線圈 1 所產生,通過 N2 匝之 2 號線圈的磁通量,又定義線圈 2 對應於線圈 1 的互感 M21, 則根據電感的基本定義(見提醒),有:

M21 = N2 Φ21 / i1

提醒:為什麼要這樣定義電感值?磁通量變化導致感應電動勢,本來巳經有法拉第定律描述。然而,固定電流產生固定的磁場,就不會有磁通量的變化,我們若想要描述感應電動勢與電流變化的關係,就需要以 L i = N ΦB 的方式定義電感,因為兩邊各對時間微分 d/dt。EL = - L di / dt = - N dΦB / dt 。

上述定義導致

M21 i1 = N2 Φ21

兩邊同時對 時間微分 d/dt,得

M21 di1/dt = N221/dt

E2 = - N221/dt = - M21 di1/dt

E2 = - M21 di1/dt

同理,

E1 = - M12 di2/dt

另外,可以證明(在課文中沒證)

M12 = M21 = M

因此上兩式簡化為

E2 = - M di1/dt

E1 = - M di2/dt

 

 

電磁振盪

電學與力學的相似性

見表

LC 振盪的定量分析

質量塊-彈簧振盪器

此系統任一時刻總能是

U = Ub + Us = 1/2 m v2 + 1/2 k x2

這是一個與時間無關的常數,故其對時間的一階導數為零。對上式作對時間微分一次並令為零,並利用 v = dx/dt 、dv/dt = d2x/dt2 的既有關係,得到運動方程式

m d2x/dt2 + kx = 0

上式的通解是

x = X cos(ωt + φ)

 

LC 振盪器

U = UB + UE = 1/2 L i2 + q2 /2C

dU / dt := 0 (令為零)

L d2q/dt2 + (1/C) q = 0

 

電荷與電流振盪

 

角頻率

ω0 = 1 / √(LC)

 

電能與磁能之振盪

 

 

LC 振盪的應用

收音機、電視的選台器。關鍵是共振。

 

 

RLC 電路的阻尼振盪

 

 

 

交流電

交流電動勢

使用交流電的主要好處是它可以透過變壓器改變電位差的大小,另一個好處則是交流電更適合發電機、馬達等轉動式電機機械的的運作方式,見圖,一個交流發電機:

E = Emax sin ωdt

其中 ωd 叫做驅動頻率。若此發電機是迴路的一部分,則將在迴路中造成一個正弦變化的電流

i = I sin (ωdt - φ)

注意這媢q流中多了相位,這是因為電流不一定跟電動勢同相位。

 

強迫振盪

 

 

三種負載電路

電阻性負載

E - vR = 0

移項

vR = Emax sin ωdt

對電阻,VR = Emax (振幅)

vR = VR sin ωdt

求電流,寫下電流滿足的方程式

iR = vR / R = VR/R sin ωdt

故電流可寫成

iR = I R sin ( ωdt - φ)

其中相位常數 φ = 0 ,且定義

VR = IR R

此關係可用之任何 AC 電路中之電阻,見圖。

 

電容性負載

如圖

vC = VC sin ωdt

其中 VC 是電容器兩端的電壓振幅,由電容的定義,此電壓來自

qC = C vC =C VC sin ωdt

求電流,找出電流滿足的方程式

iC = d qC / dt = ωd C VC cos ωdt

想把 iC 表示成標準形式以利比較

iC = I C sin ( ωdt - φ)

iC = (VC / XC) sin ( ωdt + 90.deg)

則須定義 "容抗" (capasitive reactance)

XC = 1/ ωd C

且電流之相位常數為 -90 度。

放故對電容之負載而言,電壓振幅與電流振幅的關係是:

V C = I C X C

見圖。

我們可以清楚看到,-90 度相位差來自於因為電流的積分才同步於驅動電動勢。

 

電感性負載

裝置如圖

感應電動勢來自驅動電動勢

vL = VL sin ωdt

而它與電流的關係是

vL = L diL / dt

diL / dt = VL/ L sin ωdt

diL = VL/ L sin(ωdt) dt

iL = ∫ diL = ∫ VL/ L sin(ωdt) dt = - (VL/ ωdL) cos(ωdt)

一樣為了表為標準形式

定義 "感抗" (inductive reactance)

XL = ωd L

iL = IL sin ( ωdt - φ)

φ= 90 deg

 

VL= IL XL

(compare V = I R, VC = IC RC)

見圖

 

RLC 串聯迴路

由於是串聯,因此流經各元件的電流都是同一個電流函數

i = I sin(ωdt - φ)

(請注意,若非如此,將導致淨電荷累積於迴路某處,即便是電容器也無法接受。)

我們要求的是電流值 i 與相位角 φ,本節用的是相位圖這種簡化的方法求解。

 

電流振幅

由迴路法則,電位需滿足

E = vR + vC +vL

 

把電壓(電動勢)用相量 (phasor) 表示出來,如圖 31-14,上式等號右邊是 (b) 圖、等號左邊是 (c) 圖。

vC 、 vL 先組合而得 (d) 圖,最後再用畢氏定理,得出關係

Emax2 = VR2 + (VL - VC)2 = I2 (R2 + (XL - XC)2)

表示為電流振幅,則為

I = Emax / √(R2 + (XL - XC)2)

定義 "阻抗" (impedance)

Z ≡ √( R2 + (XL - XC)2 )

則電流振幅為

I = Emax / Z

上式代入 XL 與 XC 的原定義值,各元件的特性量比較看得清楚:

I = Emax / √(R2 + (ωdL - 1/ωdC)2)

我們可以看到,I 的值是 ωdL 與 1/ωdC 的差距決是的。

以上描述的是接上交流電動勢後的穩定狀態(steady-state),當電動勢剛接上電路時,會產生一個暫態電流 (transient current)。此暫態時間是由 L/R 及 RC 兩個時間常數決定的。若未經仔細的計算與電路設計,暫態電流有可能會在電源一開動時毀壞一個馬達,比方說。

(譯本提到,暫態電流可能會非常大,為什麼?)

 

相位常數

從圖 31-14 (d) 可看出相位角 phi 具有以下關係

tanφ = ( VL - VC ) / VR = ( IXL - IXC ) / IR = ( XL - XC ) / R

這就是相位常數。

相位特性可以分為下面三種情形:

XL > XC:電感成份大於電容成分,相位角為正值。

XL < XC:電容成份大於電感成分,相位角為負值。

XL = XC:共振,此時相位角為零度。

 

共振

對給定的 R 值,最大電之振幅發生在

ωdL = 1/ωdC

ωd = 1/ √(L C)

其實 RLC 電路(R 不大者)的自然頻率是 1/ √(L C),此即共振。

小 ωd 時,是感抗小、容抗大;大 ωd 時,是容抗小、感抗大。

共振曲線低頻的部分由容抗所支配,高頻的部分由感抗所支配(低頻電流有利充電,而高頻電流造成電磁感應大)。

 

交流電路中的功率

RLC 電路中能量的來源是發電機,該能量一部分貯存於電容器的電場中,一部分貯存於電感器的磁場中,剩下的則在電阻器以熱能的方式消耗掉。。

P = i2 R = [I sin(ωdt - φ)]2 R

sin2 θ 的週期平均是 1/2

Pavg = 1/2 I2 R = (I/ √2)2 R

定 Irms = I/ √2

Pavg = Irms2 R

同法,可定

Vrms = V / √2 及 Erms = Emax / √2

現在,由於 Irms = I/ √2 且 Erms = Emax / √2 ,都差一樣的√2

我們也可以把之前建立的 I = Emax / Z 改寫為很常用的形式

Irms = Erms / Z

如此可得

Pavg = Irms Irms R = (Erms / Z) Irms R = Erms Irms (R/Z) = Erms Irms cosφ

以上是平均功率的公式,其中 cosφ 稱為功率因子 (power factor)。要達到輸能至電阻的最大功率,需使 cosφ 接近 1。

 

變壓器 (transformer)

電力配送:能傳輸的需求

Pavg = E I

(7.35 × 105 V ) ( 500 A) = 368MW

Pavg = I2 R

(500 A)2 (220 Ω) = 55 MW

損耗約 15%

電壓降低成一半

(1000 A)2 (220 Ω) = 220 MW

己達 60% 的損耗

 

理想變壓器

基於用電的安全(低電壓)與降低傳輸的損耗(高電壓),我們需要使用變壓器來改變電位差。而保留 "電流×電壓" 的積是定值。(沒有直流的變壓器)

見圖 31-18,開關在 S ,線圈(有絕緣)繞在鐵芯上(鐵芯本身再片狀絕緣貼合,以減少渦電流)。

因為 E = - d(NΦB)/dt

所以 Eturn = E/N = - dΦB / dt

由於磁通量是相同的,因此主 (primary) 線圈與次 (secondary) 線圈的每匝電動勢是一樣的,

Eturn = Vp / Np = Vs / Ns

Vs = Vp (Ns/Np)

若匝數 Ns > Np ,則 Vs > Vp ,就叫升壓變壓器。

 

若開關 S 打開(斷路),則

迴路在開關 S 關上(通路)後會發生的事:

(見課本描述)

假設無能量損失,則發電機到主線圈的能量傳送率 Ip Vp 就會等於 Is Vs,因此有

Is = Ip Np / Ns

上式告訴我們,電流的轉換亦取決於匝數比。

出現在主電路的電流 Ip 是因為有電阻頁載 R 在副電路上,要找出 Ip ,由上式

Ip = Is Ns / Np

再拿 Is = Vs / R ,並且用上了前面已有之 Vs = Vp (Ns/Np),則得

Ip = 1/R (Ns/Np)2 Vp =Vp / Req

其中 Req = (Np/Ns)2 R ,是主線路因副線路內有電阻負載而感受到的等效電阻。

 

阻抗匹配

若要讓電率勢最有效轉列電阻性負載上,則阻抗要匹配,即主、副線路阻抗相當。

太陽活動與輸電網路

見圖

 

例題:

30-9

 

習題:

Ch.30. 45

Ch.30. 72

Ch.30. 75