電容、電阻與電路

 

電容

電容器 (capacitors)

 

電容 Capacitance

q = C V

電容 C 的意義是,多少電荷的注入(或說分離),才能讓電容器 (capacitor) 的電位提昇一伏特。

從另一個角度來說,電容器是貯存電能(當然也是電荷)的元件,它是透過在空間中建立電場的方式達到(這是需要花費能量代價的)。

C 只與裝置的幾何有關。以平板電容為例,電容值與板的帶電量及板之間的電位差無關。

 

電容的計算

策略想法

電容是貯存電荷的元件,而有電荷就會有電場,因此造成電位差。如此,q = C V 的 q 與 V 就有了,可得 C。

(事實上,在電腦 RAM 的原理上,電容若目的就是貯存電荷以建立電位,見 "科技的原理 1, 2 ")

思考:除了配置電荷之外,有沒有其他辦法在空間中,建立靜電場(與時間無關的電場)?

 

先計算電場

使用高斯定律,利用對稱性的討論,求出裝置中電場與電荷之間的關係。

 

再計算電位差

以電場對距離積分獲得電位差。如此則得到電位差與電荷之間的關係。

 

利用 q = C V,看給入 q 可以在該裝置中建立多少 V,則可定出 C 。

 

幾個電容器之電容值計算的範例:

(課本中有詳細推導,請自行確實練習)

平行板電容器

C = ε0 A / d

其中 A 是平板面積、d 是間距。(對邊緣的電場有作理想化的近似,但面積大時也是不錯的近似。)

 

圓柱形電容器

C = 2πε0 L / ln(a/b)

柱長 L、內外徑 a、b

 

球形電容器

C = 4πε0 a / (1- a/b)

 

單獨球體

上式之 b → ∞,並假設內半徑 a = R

C = 4πε0 R

 

電容器的並聯與串聯

並聯

看圖 25-7 <22-7> ,並聯的電容器感受到同樣的電位差,不同電容器則各有其累積的電荷。合在一起看,則相當於,有一個電位差,造成 q1、q2、q3 的電荷分離。因此總和的電荷分離是

q = q1 + q2 + q3 = C1 V + C2 V + C3 V

= (C1 + C2 + C3) V = Ceq V

從比較我們可以看出

Ceq = C1 + C2 + C3

故並聯的電容器

Ceq = Σi=1n Ci

 

串聯

圖 25-8 <22-8>

分離的電荷量在每個串聯在一起電容器都一樣(因為在同一條電線上), 而電壓降(即電位差)則由這些電容器分享。

1/Ceq = Σi=1n 1/Ci

 

儲存在電場中的能量

從作功的觀念來思考:

在一電容器上,己有 q' 電荷並建立了 V' 電位差,要再多移 dq 的微小電量作分離,則其位能變化為(微量電荷不造成位勢 V' 的變化)

dW = V' dq' = ( q' / C ) dq

W = ∫ dW = 1/C ∫0a q' dq' = q'2 / 2C

因此儲存的位能是

U = q2 / 2C

也可表示成

U = 1/2 C V2

帶電之電容器的電位能可視為是儲存在兩板間建立的電場

 

懸浮粉塵爆炸

(課文開章問題,如何防止)

已知懸浮粉塵到達爆炸的程度需最小火花能量約 150mJ (原因,能量規模小的點火,引起的燃燒規模尚不足以造成危險)。粉塵爆炸無法完全預防,故環安工程以限制電火花能量著手。將人視為身高大小的球形電容。根據公式算出帶靜電 4 萬伏左右即貯能達 150 mJ。因此廠內設置導電地板務使人員帶電總是遠小於此一數值以下。

 

例題 25-4 燒燙傷用之高壓氧病床著火

 

能量密度

以平行板為例,能量密度

u = U / Ad = C V2 / 2Ad

因為 C = ε0 A / d , 所以能量密度與電場的關係是:

u = 1/2 ε0 E2

以上給果在一般惰況也都正確,不僅限平行板電容器。

 

 

內含介電質之電容器

法拉第在 1837 年探討,若用非導體來填入電容的兩個板之間,電容值會怎樣變化?(法拉第的實驗見圖 25-12)

(因此電容單位以他命名)他實驗不同材料,以 κ 來代表填入後電容增加的倍數,他將之稱為該材料的介電常數。見表。

加入介電質的副作用是引入了能承受電位差的上限值,稱電崩潰電壓(位)Vmax,一旦超過則介電材料被破壞而形成通路,介電強度描述了承受外加電場的上限。

 

在填滿介電常數為κ 的介電材料的空間中,所有靜電公式中出現 ε0 者皆以 κε0 值取代即可獲得修正。

例如,點電荷在介電質中的電場

E = q / 4πκε0 r2

而帶面電荷密度的導體(不必是平板,因為電場必垂直於導體表面)與介電值接觸時,其表面外的電場值是

E = sigma / κε0

 

對於平行板電容,則有同理而有下列現象,(a) 固定電壓時蓄電量增加,或 (b) 固定電荷分離下電壓(電位差)減小:

為什麼會這樣?要從下一節微觀的圖像去了解。

問題討論:把介電值塞入上圖 (a)、(b) 兩種裝置中再移走,能量如何變化?需不需要作功?

 

介電性的微觀圖像

極性介電質

如水,水分子具有永久電偶極,平時混亂排列。圖 25-13

偶極排列會產生一個與外加電場方向相反的電場

(注意電偶極向量的定義,是由負電荷出發指向正電荷,而電場的定義則是由正電荷出發指向員電荷。如此定法,偶極向量平行於電場方向會降低總能。)

 

非極性介電質

靠著本身正負電荷受電場影響的暫時分離

 

電場(及電位)受到改變的機制

電偶極的排列或誘發使空間中的電場變小,這是因為,扣除了電偶極頭接尾抵消的效應後,還有面電荷分佈沒辦法抵消,而面電荷是會造成電場的(見圖 25-14)。

q = C V, V 變小,故 C 變大

 

介電質與高斯定律

高斯定律仍然成立,但現在有面電荷出現,高斯面包住的淨電荷變少(圖 25-15)

,故電場變小。(注意原本公式是電通量正比於 q / ε0,在介質中 ε0 -> κε0

我們在此想要的,是一個能寫出自由電荷與電場的高斯定律(誘發面電荷不方便處理與掌握)

以下推導:

原 ε0Φ = q,E0 = q / ε0 A

後 ε0Φ' = q - q' ,E = ( q - q' ) / ε0 A

而介電質使 電位(即電場乘以等長度)變小 1/κ 倍(才會這成電容值增為),即

E = E0 / κ

把前面兩式的 E0、E 代入,則有

q - q' = q / κ

κ( q - q' ) = q

而前已有

ε0Φ' = q - q'

代入上式,得

κΦ' = q

因此,高斯定律改寫為

ε0CS κE · dA = q

也就是說,在介電值中,一樣是 ε0 -> κε0 但為了處理不均勻質,κ移入積分中與 E 乘在一起較方便。

有些書籍把整個 ε0κE 叫做電位移 D,則有

CS D · dA = q

 

 

 

電阻

電流

要有淨的電荷移動才有電流效應

i = dq / dt

dq 是通過截面的電荷數

因為 q 與 t 都是純量,i 必定也是

 

電流密度

i = ∫ J · dA

若均勻

J = i / A

 

漂移速率

vd ≈ 10-5 or 10-4 m/s

v ≈ 106 m/s

J = n e vd

電場在導體內以接近光速進行

 

電阻 (Resistance) 與 電阻係數 (Resistivity)

定義

R = V / i

i = V / R

 

電阻係數

ρ = E / J

E = ρJ

上兩式在等向性 (isotropic) 材料成立,否則會是張量形式。

另定 傳導係數 (conductivity)

σ = 1/ ρ

 

由 電阻係數 來算 電阻

E = V/L

J = i/A

前有 ρ = E/J

故 ρ = E/J = (V/L) / (i/A) = VA/ iL = (V/i) A/L = R A/L

移項得

R = ρ L/A

 

隨溫度的變化

ρ - ρ0 = ρ0α(T - T0)

典型之金屬 ρ 值的溫度變化,見圖 23-9

 

歐姆定律

"通過一個元件的電流,與施加於元件的電位差成正比"

(雖叫 "定律" ,其實僅適用某些材料,這是歷史上的理由這樣叫。)

請注意,不應把 V = i R 叫做是歐姆定律,V = i R 是電阻的定義 R ≡ V / i

歐姆定律 是說, i 與 V 呈線性。

 

歐姆定律 的微觀圖像

推導漂移速率

電場造成的加速度

a = F/m = eE/m

在碰撞之前能獲得的速度就是漂移速度,來自平均自由時間內的加速

vd = a τ = eE τ/ m

己知

J = n e vd

vd = J / ne = e E τ/ m

整理出 E 與 J 間的關係

E = ( m / n e2 τ ) J

ρ = m / e2 n τ

若上述 ρ 是與外加電場無關,則 V 與 i 就會呈線性。在此 τ 與電場會無關的原因是,電場造成的漂移速率遠小於 veff,故 veff 及 τ 皆不受外加電場大小所影響。

vd ≈ 0.02 veff

 

電路的電功率

在時間 dt 內有 i dt = dq 那樣量的電荷流過迴路,而降了電壓,因此電位能差是

dU = V dq = V i dt

則功率為

dU/dt ≡ P = i V

表示成 R = V / i

P = i V = i2 R

也可表示成

P = V2 / R

以上的功率耗散都用於電阻性耗散 (resistive dissipation)

電力輸送線上無明顯壓降,但卻有某個電流大小,因此適用 P = i2 R 式,為了減少消耗,電流越小越好,故只得提高電壓 ( P = i V ),因此電力的輸送採取的是超高壓電。

思考:電阻大的燈泡與電阻小的比,那個亮?

 

半導體

利用摻雜後的多餘電子或電洞作載子。

電阻係數的溫度曲線與金屬不同,是越高溫導電性越好。

 

超導體

低溫下有些材料進入完全沒有電阻的狀態。

可絕磁,也可作強力磁鐵(取代電磁鐵)。

 

 

 

電流迴路

電路理論

 

Pumping charge

用電池

推而廣之可以是任何電動勢裝置。

 

功、能與電動勢

E = dW / dq

 

單迴路電路之電流計算

請注意我們這堛漸媦衧O要算 "電流"

能量法

具電動勢 E 之電池對一微量電荷 dq 作功

dW = E dq = E i dt

此值,基於能量守恆,等於迴路上通過電阻的消耗

E i dt = i2 R dt

化簡之

E = i R

可解出現流

i = E / R

 

電位法

在迴路中以任意點為起點,位意方向環繞電路,把一路所遭遇之電差位加起來,直到回到出發點時(因為是迴路一定可以),電位也必須回到原來的值。也就是說(這叫克希荷夫迴路規則 Kirchhoff's loop rule):

"在電路中,任一迴路的電位變化的代數和必為零"

以圖 24-3 之 a 點開始,

Va + E - i R = Va

因此

E - i R = 0

一樣可解出 i = E / R

以上使用了兩個規則

(1) 通過一個電阻,與電流方向相同,則電位變化 -iR,相反則 +iR

(2) 通過一個電動勢元件,方向相同,則電位變化 +E ,相反則 -E

 

兩點間電位差

通過真實電池的電位差

因為電池本身也有電阻

 

電路接地

接地處電位定為零

 

電功率、電位、電動勢

P = i V

P = i ( E - i r ) = i E - i2 r

Pemf = i E (電動勢作功)

Pr = i2 r (內部耗損)

 

多迴路電路

節點法則:流進任一節點的電流總和一定等於流出該節點的電流總和

示範:圖 27-9 的電路圖如何求電流 i1、i2、i3

電流方向可假設,反正解出後自有其正負號。

 

 

安培計與伏特計

安培計內含一小電阻,可量電流

伏特計量電位差,要有一個比被量線路大得多的電阻

可切換,為萬用電表

作業:安培計與伏特計的運作原理

 

 

RC 電路

在此被討論的電路見 圖 27-15

對電容充電

E - iR - q / C = 0

(電容是貯存能量的裝置,自然與電動勢反號)

基於 i = dq / dt ,故上式變成

R dq / dt + (1/C) q = E

此式又叫充電方程式,其解為 [對電容器充電的情況下] :

q = C E ( 1 - e-t/RC )

i = dq /dt = ( E / R ) e-t/RC

 

時間常數

R C 乘積是一個常數,出現在指數次方之分母,單位是時間(寫在次方上的數必須無因次)因此是一個時間度量,每經過 RC 時間,大小成為原來的 e-1 = 0.37 倍。

 

電容的放電

與上式同,但無電動勢

R dq / dt + (1/C) q = 0 (放電方程式)

其解為

q = q0 e-t/RC

i = dq /dt = -( q0 / RC ) e-t/RC

 

 

EX-150

http://www.youtube.com/watch?v=6r98FZq2A4I

http://www.youtube.com/watch?v=iNfTL3Kw4hQ

 

範例

22-4

23-3

23-4

23-5

24-2

24-3

24-4

全華 25-7

全華 27-3

全華 27-4 電鰻