振盪:簡諧運動、阻尼與共振

 

簡諧運動

簡諧運動的定義

x(t) = A0 sin(ωt + φ)

其中

A0 是振幅

ω是角頻率,1/ (2 π ω) = T 是週期

φ是相位角

 

複數的表示法也很常見

x(t) = A0 ei(ωt + φ)

其中 eiθ = cos(θ) + i sin(θ)

ei(ωt + φ) = cos(ωt + φ) + i sin(ωt + φ)

 

簡諧運動的軌跡

一維情況

 

兩個獨立 SHG 圖形之組合:李沙育圖形

Ax, Ay, ωx, ωy, δx, δy 皆不同

 

 

 

 

簡諧振盪的運動方程式

對時間微分兩次

 

微分方程式(運動方程式)

d2 x(t) /dt2 = - k/m x(t)

也就是說,綁在(質量可略不計之)彈簧上 的物體的運動行為,其中 ω = √(k/M)

 

位能

U = (1/2) ω x2

 

簡諧運動之重要性

任何回復力位勢在接近平衡點處都是拋物線形,也就是一次方力。(數學上可證明函在極值處由於斜率為零,泰勒展開由平方項開始,故有上述性質。)複習:泰勒展開式。

 

http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

 

 

多質點系統之的振盪的基本模式(Normal Mode)

 

維基百科 http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_mode

 

C2H6 分子之 normal modes 的其中三種

 

 

幾種常見的簡諧運動裝置

彈簧

 

扭擺

Fig 15-7

τ = - κ θ

 

簡單鐘擺(單擺)

 

真實(物理)擺

也有翻譯作複擺

週期是 (15-29) 式

可利用複擺來精密量測 g 值

g 值是 (15-31) 式(單擺公式堛 g 消掉所以不能求 g)

 

均勻(等速)圓周運動的投影

 

 

 

阻尼

阻力

是一種消耗力學能(機械能)的過程,與速度有關,例如下圖裝置

Fd = - b v

代入 Fnet = m a,得

- b v - k x = m a

受阻尼簡諧運動方程式的解

解微分方程式

-bv - k x = ma

m d2 x/dt2 + b dx/dt + kx = 0

通解為

x(t) = A0 e -bt/2m cos(ω't + φ)

有新的角頻率

ω' = ( k/m - b2/4m )(1/2)

而重要的是隨時間指數衰減的因子,要套在振幅上

e -bt/2m A0cos(ω't + φ)

將造成 under damping, over damping, critical damping 等現象

以 under dampling 即 b < √(km) 為例

 

數值的電腦模擬

也可以很方便地用電腦模擬出來

 

 

施力振盪 與 共振

施力振盪 (forcaed oscillation)

有外力的

 

瞬間外力

用衝量處理,換成初速度

 

週期外力

當驅動力頻率 ωd 等於振盪系統的自然頻率 ω 時,振幅會越來越大。直到被阻尼抵消而達到最大值。

 

隨機外力