平衡、彈性與重力

 

 

平衡 (Equilibrium)

平衡

P = 常數、L = 常數

 

靜態平衡

P = 0、L = 0

 

穩定靜態平衡

小擾動後能回復到平衡位置

 

不穩定靜態平衡

小擾動能將平衡瓦解

 

靜態平衡分析

在工程上是很重要的

 

 

平衡的條件

力的平衡

Fnet = 0

 

力矩的平衡

τnet = 0

 

若是靜態平衡,則還到再加上

線動重為零

P = 0

 

重心

重心的定義

作用於某個物體的重力 Fg,是等效於作用於單獨一個點,此點稱為物體的重心 (Center of Gravity, cog)

這堛熊幼蘇O指原本組成元素上的受力改移到重心,則原物體也不會有總合力與合力矩的不同,即物體的狀態不變。

 

重心與質心重合的條件

先決條件是重力場均勻(之前講過了),證明見課本,自己看

 

靜態平衡的一系列題例

12-1(圖 12-4) 兩秤撐一樑

12-2(圖 12-5)梯子救火員

12-3 (圖 12-6)鋼索與有轉軸之吊桿

12-4 (圖 12-7)比薩斜塔

課本給大家列出解題技巧整理,共九點,可以看一下。

 

未定結構 ( Indeterminate Structures)

未知數的個數比方程式的條數更多,稱為是 "不確定的" (indeterminate)。

例如,我們這埵酗T條方程式可用(平面作圖能處理的問題,有 x、y 分量的淨力都為零,以及物件不受淨力矩,共三個條件),如果有四個未知的力或力矩待求解(如四個桌腳的受力),就會變成 indeterminate 問題(三個腳的桌子反而可解)。

然而,真實世界中這些系統總是有某個力存在,那到底本節的方法中是少了什麼?這個問題的答案是,我們一開始就把物體假設成是剛體,沒有絲毫形變可能及彈性的。

課本提到,不穩的四腳餐桌,我們常會找個紙折一折來墊。如果是一頭大象來坐在桌面上,在桌子沒被坐垮的情況下,我們可以想像四支腳都是結實著地的,因為桌面自然會形變來因應。

要解決這個 "不確定性" 問題的求解,就要引入對物體 "彈性 (elasticity)" 的探討。

 

科學玩具:Theo Jansen 的 仿生獸

學研 大人的玩具 http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=qAVv0uM0UvI

http://www.ted.com/talks/theo_jansen_creates_new_creatures.html

http://www.youtube.com/watch?v=WcR7U2tuNoY

 

彈性 (Elastisity)

凡是物質必有彈性(受力必形變),從微觀角度而言,物質由原子構成,而原子之間有彈簧相連是一個常見的模型。因此我們不必意外凡是就應該會有形變。

 

應力 (Stress)

每單位面積的形變力

 

應變 (Strain)

單位形變

應力 = 模數 × 應變

 

常見的三種應力應變

張應力、剪應力、流體應力,見課本圖 12-10。

 

彈性(線性)、變形到斷裂

圖 12-12 顯示了 應力-應變曲線 ( stress-starin curve )

大於 降伏強度 (yield strength) Sy 之後,會造成永久變形,見表 12-1

大於 極限強度 (ultimate strength) Sr 之後,會造成斷裂,見表 12-1

 

張應力 (tensile stress) 或 壓縮應力 (compressive stress)

F / A = E (ΔL / L )

其模數 E 叫楊氏係數 (Young's modulus) ,見表 12-1

ΔL / L 可以用 strain gage 來量,見圖 12-13

 

剪應力

F / A = G (Δx / L)

G 是 剪力模數 (shear modulus)

 

流體應力 (Hydraulic stress)

即壓力

p = B (ΔV / V)

B 是 塊體模量 (Bulk modulus)

 

例題:12-6 三腳撐地的四腳桌

 

 

 

 

 

重力 (Gravity)

牛頓的萬有引力定律

蘋果的故事與萬有引力的發現

三一學院的蘋果樹

作業:克卜勒的生平與貢獻

 

引力定律

F = G m1 m2 / r2

 

牛頓的球殼理論

均勻球殼對殼外一點的引力,等於將重量集中於球心時,對該質點的吸引力。(微積分可證明之)

 

 

地表附近的重力

F = m (G M / (R+r)2) = m g

因為 R >> r,故 g ≈ GM/R 為一常數

 

地球內部的重力

利用球殼理論(一樣可以用微積分證明),球殼內部的任一點,受球殼的重力為零。

 

克卜勒三大行星定律

一、軌道定律

二、面積定律

三、週期定律

 

衛星的軌道及能量

把重力場與圓周運動向心加速度劃上守號,得 GMm/r2 = m v2/r

K = (1/2) m v2 = (1/2) GMm/r

K = -U/2 (圓形軌道)

E = -K (圓形軌道)

 

愛因斯坦的廣義相對論與重力

等效原理

因加速而感受到的重量與引力而感受到的是一樣、區分不出來的的,如示意圖 13-19

 

重力的成因是彎曲空間

重力會引起彎曲空間己有天文觀測上的證明

 

 

 

 

 

例題

12-6 三腳撐地的四腳桌