轉動
角速度、轉動慣量（慣量矩）、轉動動能、力矩
轉動現象裏有沒有慣性？
無外力下，怎樣的轉動會發生，怎樣的不會發生。
想想看例一、忽轉忽停？越轉越快？瞬間停止轉動？
觀察結果：轉動似乎有其自然的中心（在那裏？）
再思考：無重力下轉棒球棒，它如何轉？
轉法一、以垂直於棒子的線作為軸心轉動
轉法二、以棒子作為軸心轉動
合著轉？
歸納要點
一個物件的自然轉軸有好幾種方向
有轉動的那個軸不喜歡被改變方向（除非施力）
茶餘飯後討論
如果你要開發動畫遊戲，如何讓動作有真實感？（例：如何避免超不像的吊鋼絲）
另類教科書：遊戲物理學
我們要描述物體的運動，轉動是很重要的一部分
如何描述轉動現象？
轉動的變數（參數）：角度
一個剛性物體（即它的各組成元素之間相對位置永遠不變）
需要軸心
角位置、角位移、角速度
ω = d θ / dt
以右手定則來定角速度的方向（即反時鐘方向是負的）
角速度（及其他角相關量）是向量嗎？
又來了一個有大小、有方向的東西。答案是否定的
ω = d θ / dt
不是向量
示範（或見課文說明），主要是交換律不成立
回顧：何謂向量（大學版）
若不是向量，那為何要定 "方向"？
稍後會看見，它定義了 角動量
不是向量，那又總樣？
角速度不適用向量加法，不能直接合成。其他
無限小角度轉動才是（可證明）
為什麼要證這個奇怪的東西？就算它是對的。
角加速度
α = d ω / dt
特例：等角加速度
它與等加速度運動的公式形式一模一樣（因為數學公式形式相同）
牛頓力學的描述有沒有包含轉動現象
有
如何用套用在轉動上？
從質點（沒外形故無轉動上的問題）的觀點切入，建立質點移動與繞某軸心轉動的對照公式。如下：
v = (dθ/dt) × r = ω × r
其中 v 是速度向量（為保留 r 來作軸心到質點的向量，故本單元中避免用 r 作位置向量），ω 是角速度
注意這是通式， 細節會在後面再更具體定義。
線性運動與轉動的關係
角位置、角位移（角位置差）
繞著質心轉的點，其角位移可由孤長 s 及 質點與軸心距離 r
s = θ r （孤長等於角度乘上半徑）
質點之速度與角速度間的關係
ds/dt = r dθ/dt
v = ωr
值得注意的是，速度是向量，檢視我們定義角相關量的方向，歸納出以下的關係式
v = ω× r
題外話：v 是向量，而 ω 卻不是
動量與角動量？
p = mv = m ω r
動量與角動量 並不是可以直接對等的東西，自轉中
（本小節為進階議題，在下一章一起討論）
P = Sigma pi = Sigma mi vi = Sigma mi omega ri
想像一個旋轉中剛體互為軸心兩側的質點，動量互相抵消，但仍轉動得十分劇烈（或，質心動能為零）
前章己經建之過的性貨是：質心動量是系統的總動量，但卻沒有說質心的動能是系統的總動能。
質心的定義有位置的一次方，造成微分後的速度也是一次方，因此與速度一次方有關的動量可以由質心動量來等同代表；然而，動能是速度的平方，因此質心動能無法代表系統總動能。（延伸問題：質心動能不是總動能，之外還有什麼動能嗎？）
角動量
另：專有名詞中並沒有一種叫作 "角動能" 的物理量，與動能有關的叫做 "轉動動能"。
角加速度與加速度
a = α r
a = r × α（向量表示法）
常具特例：均勻圓周運動的向心加速度是 a = v2/r， 套用 v = ω r 的公式，就得到 a = ω2/ r
注意有兩個分量，徑向及切線方向，切線方向
at = α r
其中α是角加速度 ( α = d ω / dt )
徑向
ar = ω2/ r
轉動動能：動能（平移、移動）與 轉動動能 的表示轉換
K = Σ (1/2) mi vi2
此時 v = ωr
K = Σ (1/2) mi vi2 = Σ (1/2) mi(ωri)2 = (1/2) ω2 [ Σmi ri2 ]
定義 轉動慣量
I = Σmi ri2
則
K = (1/2) I ω2
這是 剛體 的 "轉動動能"，記得它完全可以由 (1/2) m v2 的基本形式得來。
轉動慣量
轉動慣量重要性
轉動慣量是代表轉動慣性的重要物理量
轉動慣量 的計算公式
I = Σmi ri2
對於連續體，則為
I = ∫r2 dm
一些常見均勻物體的轉動慣量，見表 10-2
注意參考表中，"軸" 的選取都通過質心，難到旋轉軸一定要通過質心？
不是，外力造成的轉動可以選任何軸。
所幸，不必每次重新計算轉動慣量，我們有平行軸定理
平行軸定理（再次提醒：定理是可證明的）
I = Icom + M h2
習題：證明平行軸定理（見課本）
一個剛體即便無外力（矩）下，也可以有多個（通過質心）轉動軸，這將會在角動量守恆單元來說明
力與力矩
再次由質點系統出發，從 F = ma 有 Ft = m at
定義力矩（及其等效表法）
τ= (r) (F sin (φ) ) = r Ft = (r sin(φ)) F
見課本圖 10-15 的圖解
牛頓第二定律的力矩形式
τnet = I α
上式可以再次透過質點系統證明（以下的力是合力）
Ft = m at
同乘轉動半徑 r ，依力矩之定義
τ = r Ft = r m at
= r m (α r) = mr2 α = I α
得證
功與轉動動能
我們之前有 功－動能定理，（課本複習 式 (10-49) ~ (10-51)）對於轉動而言（課本講 "假設這是物體唯一改變的能量"，
Δ K = Kf -Ki = W = ∫ τ d θ
由此可見，轉動作功為：
W = ∫ τ d θ
習題：證明 W = ∫ τ d θ
式 (10-52) ~ (10-55) 的證明見 (10-56) ~ (10-59)，大家要看習慣
等力矩特例下
W = τ(θf - θi)
平移與轉動的各相關公式對應
見課本表 10-3
例題
10-1 角位置與時間的關係
10-2 由角加速度求角速度與角位置
10-3 等角加速度的角度函數變化
10-4 減速過程求等角加速度
10-5 雲霄飛車頭痛症
10-6 轉動慣量
10-7 轉動慣量
10-8 轉動動能
10-9 滑輪
10-11 轉動動能
10-12 轉動運動方程式
習題
7
27
30
52
55
57
65
66
問題
待下一單元時一併討論