質點系統、碰撞、線動量守恆

 

重心

重心是物理名詞,也被用於日常文學之中。例如 "生活失去重心"

它是你的支掙點所要放的地方有做到,就穩妥,否則就不穩甚至翻覆(如翻車或翻船)

可見重心一定扮演相當重要的角色

重心的標定法

把物件掛起來,鉛直線會通過重心,劃線,轉換個點再掛,再劃線,交點即是重心。

 

質點系統

什之是質點系統

多個質點構成的系統

 

質點系統可以定類似重心的東西嗎?

是的,而且將會很有用。

 

質心與重心是不是同一個點?

在均勻重力場下,質心才與重心重合,不均勻重力場中則未必。

 

質心(Center of Mass) 與 質心位置的意義

又叫質量中心,它是一個位置座標值,相當於在均勻重力場中的重心位置。

考慮以質量大小作為權重的平均位置

R = m1/(m1+m2) r1 + m2/(m1+m2) r2 = m1/M r1 + m2/M r2

MR = (m1+m2) R = (m1+m2) [ ] = m1r1 + m2r2

例 (1) m1 = m2 ,則 R = (r1+ r2)/2,合乎我們的預期。

例 (2) m1 >> m2, 則 R ≈ r2,也合乎我們的預期。

 

連續體的質心公式

僅是把加總換成積分,注意三個向量分量:

R = X ex + Y ey + Z ez

其中

X = (1/M) ∫ x dx ; Y = (1/M) ∫ y dy ; Z = (1/M) ∫ z dz

 

質心速度

dR/dt = d/dt (m1r1 + m2r2) /M

兩邊再同再乘以 M

d (MR) / dt = p1 + p2

質心速度 乘上 總質量,竟然恰可代表 系統總動量,就好像質點的 速度 乘上 質量 就是它的 動量 那樣。

 

 

 

線動量守恆

之前曾提到尋守恆量重要,在無外力的情況下,動量是守恆(不變)的。

直接來自牛頓第二運動定律 f = m a = m dv/dt = d(mv)/dt,如果我們定義 mv = P,叫作動量 (momentum) 也就是說,

f = dP/dt

在無外力的情形下

dP/dt = 0

故我們有動量 P 不隨時間改變,(線)動量守恆。

 

 

質點系統的線動量守恆

動量在只有一個粒子時,重要性好像與速度差不多。但在質點系統堙A它抓到了系統的重要特徵

P = Σi=1n pi = Σi=1n mi v i

因為是總動量守恆而不是總速度守恆。

 

 

碰撞

兩個物體碰撞的過程及結果,可以是非常複雜,例如兩台車互撞。除了一團亂以外,這媕Y是否有一些規律性可言?

從另一個角度來看,撞球之間的碰撞簡單,高手的神乎其技的表演引人目光。所以碰撞僅乎是可以算得很精準的現象。

碰撞時,兩個物體交互作用的時間極短,我們因此另定一個方便的量來描述它們運動狀態的改變(其中最重要的兩種物體的運動狀態是位置(軌跡)及速度),即速度(乘上了質量後就之動量)的瞬間變化。我們之後會發現,動量比速度在描述運動上更有代表性,因此定義動量的瞬間改變。

 

碰撞的前後,動量守恆

動量守恆(無外力時)是前面己經證明的,只要是沒有外力,任何時刻動量都是守恆的。

 

衝量(impulse)

處理極短時間內的動量改變,我們之定義 衝量 ( impulse ) pf - pi = ∫ F(t) dt ,它導於動量改變,是碰撞前後最容易明確處理的量(碰撞過程的時間太短)。

 

彈性碰撞 與 非彈性碰撞

彈性碰撞是碰撞前後能量守恆(為什麼彈性的碰撞就會這樣?因為彈性系統會把讓距離接近的質點的位能貯存起來,待遠離後再釋放乾淨,因此動能守恆)。

至於非彈性碰撞,因為沒有還原交換成位能的動能(或者是一部分部分動能已變成位能),故動能不守恆。

 

牛頓的搖籃 (Newton's Cradle)

作業:到 YouTube 用 Newton's Cradle 找影片,解釋所看到的現象。

例一、http://www.youtube.com/watch?v=N23hWICdgsU

例二、http://www.youtube.com/watch?v=sLZV0Y-VtGw

 

對稱性與守恆量

 

動量守恆與慣性

之前我們提到,物體有慣性,而在本單元中闡明的 "無外力下動量守恆",則是物有 "慣性" 背後的基本理由。我們將會在後面的單元堙A再介紹角動量守恆以及與轉動有關的慣性量。

 

討論、例題 與 習題

討論

坐在椅子上腳不碰地仍能移動,怎麼辦到的?

一個人自己玩盪鞦韆,為何能一直盪而不被摩擦力消耗能量停止?

一手就可以把籃球拍起來開始運球,如何用物理解釋這個酷技?

 

例題

9-2 求質心

9-11 擺鎚球

 

習題

Ch.9 第 17 、48 題