牛頓運動定律、加速度、功、位能
站在巨人的肩上
哥白尼
太陽為中心說
伽利略
大教堂
大小球那個先落地
克卜勒的定律
行星運行在橢圓軌道上
牛頓與劍橋三一學院
作業：
自然哲學家的頭銜
三一學院雷恩圖書館的 4 雕像
Devinity, Law, Physic (medicine), Mathematics
質量與慣性
質量與重量的不同
一個質量是一公斤的物體，在地球表面有一公斤重，但在月球表面有 1/6 公斤重。
思考問答題：
一公斤的鐵與一公斤的棉花那個重？
一公斤重的鐵與一公斤重的棉花那個重？
鐵與棉花那個重？
鐵與棉花那個比重大？
慣性
緊急煞車人會向前衝。
用鎚子橫打疊起來的木塊堆的底部，使其不倒但越來越矮的玩具。
從斜面上滑下來的鋼珠滾很遠還不會停。
質點
為了探討上能單純化，且從經驗上也可行，我們可以把有質量的物體點作一個沒有體積的點，只是一個點就沒有轉動的問題。
（後面的章節會介紹質點系統，並引入質心的觀念，屆時我們可以解釋為何我們可以安令地作此減化，並對於有持定外型的物體，隨後也將會探討其轉動相關的行為，都不會推翻我們有時把物體當作的一個點所分析的相關結果）
運動、等速運動與變速運動
位置、時刻、距離、速度
位置與距離的關係
距離與時間、速度的關係
歐基里德的幾何
直尺與圓規，配合上公理（公設）的幾何
伽利略、牛頓的時空觀
慣性座標系
微積分
微分是探討變化量的數學
本來叫做流數
微分計算需要引入 "無窮小" 這個量
現代分析學（即微積分、高等微積分，等學門）使用
非標準分析學定義了無限小這個量，
極限
lim x → a f(x) = b，代表：
∀ε> 0 , ∃ δ > 0 ∋ ∀| x - a | <δ , | f(x) - b | < ε
連續
f(x) 在 x0 連續，代表：
∀ε> 0 , ∃ δ > 0 ∋ ∀| x - x0 | <δ , | f(x) - f(x0) | < ε
（圖形上的理解）
導數（曲線的斜率）
y'(x) ≡ dy/dx ≡ lim Δx → 0 [ f(x+Δx) - f(x) ] / Δx
實作技法
泰勒展開公式及其證明
從實用的觀點，大家要記得以下的技巧：利用泰勒展開式展開待處理的函數（通常是 f(x) ），Δx 展開整理照作，待整理到最後，令 Δx 為零取不含 Δx 的結果。
例如，證明 d xn /dx = n x n-1
積分
在數學上，"積分" 即 "反導數"。
微分方程式
是一個方程式（有等號，有未知函數），有未知函數之導數的方程式。
我們要能夠解幾個最基本的微分方程式，包含 其通解會是指數函數、三角函數者 。
向量空間
介紹向量
什麼是向量？
答案（中學版）
有大小、有方向的量
答案（大學版）
滿足向量的座標變換規則的量
基底向量
V = Vx ex + Vy ey + Vz ez
常使用正交基底 ei ．ej = δ ij
以數學式表示物理
牛頓運動定律
第一定律：慣性定律
不受外力下，靜者恆靜；動者恆沿直線作等速運動。
第二定律： 力、質量與加速度
f = m a
（粗體字代表向量）
第三定律：作用與反作用（Action and Reaction）
施力於一個物體，就會受到大小相等、方向相反的反作用力。
例：螺旋槳推進、噴射推進、游泳、走路
（討論：接觸力與超距力之不同的問題）
我們對一個物理定律的期待
在不同的時間、空間皆成立適用
反例："銀色" 耶誕
牛頓定律適用的範圍
慣性座標系
沒有受到加速度的座標糸
重點是同為慣性座標糸的兩個座標體系，之間可以差一個速度。由於最多只差一個速度而非加速度，同學們可自行證明同一個事件在兩個不同座標系所看到的都會是一樣的 f = m a 數值
作業：請自行證明，慣性座標系之間牛頓定律公式的不變性。
註：慣性座標系除了僅差異常數速度外，另有一重大假設，即不同座標系的時間都流逝得一樣快。這個假設有待電與磁之知識的建立完備來呈現一個大矛盾，並且要等到狹義相對論的提出才修正解決。
力
力從得而來？
出手就有力，但也有限
為了充分利用，必須深入了解
力有什麼用？
移動東西
塑造東西
對東西加壓
火藥炸城牆
各種力
重力
地表附近的重力加速度是常數
如何知道：每爬一格樓梯一樣吃力，位高樓沒有比較輕鬆牧或沈重
注意向力是指地下，故加速度分負值 -9.8 N/m
摩擦力
阻力（空氣、水）
張力
彈力
又稱為回復力 f = -k x ，其中 k 是正值、x 是伸長量
浮力
壓力
其他
電力、磁力、強作用力、弱作用力
不是（物理上的）力的（文學上的）力
能力
判斷力
執行力
影響力
念力
洗淨力
心力
動力
原力（The force）
來自星際大戰科幻小說
叫作力但不是物理上的力的科技名詞
馬力（Horse Power）
這倒是有
壓力（Pressure）
應力（Stress）
如何創造出力？
自己的體力
獸力
財力（有錢能使鬼推磨）
力從何而來？
力有沒有用掉（用上）
以 "作功" 來論
力有無上限？
"力" 似乎不能無中生有
需要有一些 "本" 才能施力或出力（所謂有所本）
這個 "本" 是什麼？
力的變化、以能量統合 與 力學的建立
找尋不變量：科學知識的重要哲理
例一、四季變化、
例二、
找尋力的來源的線索
真實表面上，大力推球則初速快且球走得遠，小力推球，則初速慢且球走得近。而球由的運動由快趨緩最終靜止，都是快、慢、停。
從此較光滑的表面來做相同的實驗，也可觀察到出大力速度快，出小力速度慢的現象，因此出力大小的值
怎麼樣的一個量，只要有施 "一樣多的力" 到一個系統，不管在該物體運動的狀態如何？該量的新增都一樣多，這就是我們要找的，與力的施作有關的守恆量。
何謂 "施一樣多的力"？
是一樣久，還是推一樣遠。對於從靜止開始的物體，推了一樣久和推一樣遠可能差不多。但是，東西沒被推動，算不算力的付出？
一個有重量的東西放在桌上不動，達到力的平衡，力一直存在，但物體既未有位置上的移動也沒有速度上的改變，則似乎物理狀態並沒有改變。（由於 f = ma 是一個二階微分方程式，位置與速度就完全決定了質點的一切資訊）
思考實驗：怎樣找一個施力（出力）固定多的裝置
有，彈簧，其施力與只與伸長量有關。
設計一個 "金剛飛拳" ，用不同質量拳試的話，都要有固定的守恆值，看怎樣形式的 m 與 v 組合可維持與 m 無關。
作業二選一：
(1) 進行貢驗確定一條彈簧的力與伸長量的確成正比。
(2) 利用該彈出不同質量的物體（如用小台車載重物，儘可能讓表面光滑）
作業二選一：
利用電腦數值計算獲得使用不同質量大小的射出速度。
得到
思考實驗 (1)
假設施力過程己完成，則物體不再受力，根據牛頓定律，此時靜者恆靜，動者直線等速度運動。我們若要找守恆量，則不太可能會是位置，因為位置隨時間變動，速度則是保持固定不再變動，因比與速度相關量有可能是守恆量。
至於其具體的形式如何？係數如何？需要再進一步評估。
思考實驗 (2)
把 m1、m2 兩個不同質量（未完）
找尋不變量（守恆量）
想辦法找出 d X / dt = 0 這樣的關係，則 X 是守恆量。
動能（參考教科書 Ch.7）
能量
"物質" 與 "能量" 可以說是物理學要研究的最重要的兩種對象，有用的物質叫材料，有用的能量是能源。
能量不滅（守恆），但可以互換
要建立一個好的理論 就要把守恆量找出來及表示出來。力學就是物理學科中的標準典範。此一模式之後造被利用到各物理的分支，建立各種 "力學"。
T = 1/2 m v2 如何得到？
在各主要參考教科書中是直接定義 ，之後還要用這個定義推導出 "功－動能定理"，藉以建立功的定義。其他文獻（包含網路上的）則有很多先把功的定義當作己知，用之導出動能表示式。
在此不深入探討動能如何由推導得到，其實 1807 年便有類似夠公式被提出 ( http://physics.info/energy-kinetic/ )
也有從衝量出發的看法 ( http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=315967 ) 見下
While?impulse?is ∫Fdt,?work?is ∫Fdx. Since force can be viewed as the rate of change of momentum, you have F = dp/dt = m dv/dt. Thus:
W = ∫Fdx = ∫m (dv/dt) * dx = m∫dv*(dx/dt) = m∫v dv = ?mv2 (which is kinetic energy).http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=78484
功與能
功－動能定理
常數力版本
f = m a
v2 = v02 + 2 a s
(1/2) ( v2 - v02 ) = a s
(1/2) m ( v2 - v02 ) = m a s = f s
Kf -Ki = ΔK = f s
ΔK = f ．s （向量版本）
變力版本
利用積分公式（詳見參考課本）
功的定義的建立
功是必須要有被作用的對象的，
W = F．d
力乘以施力方向上的移動距離
為什麼 "功" 這個定義有實用的價值？
再論加速度
速度的變化率
軌跡對時間的二次微分
加速度的變化率？此變化率的變化率？
到底要收集多少資訊才夠了解運動？
f = m a 的數學與物理上的意義
微分方程式的待定常數（條件），因為二階，所以兩個；一個是 (初始) 位置，一個是 (初始) 速度。
保守力與位能
如果有一種力在作功時，其功的總大小與作功路徑無關，而只與作功起點與終點有關，這種力叫作保守力。
另一種判定法：沿封閉路徑作功一圈淨值零之力，保守力。
高階的定法：旋度處處零之力場，為保守力。
數學上可證明，處處旋度為零的向量場必可丟為某純意函骰的梯度向量場。
保守力與位勢
保守力必可以定為某個函數的斜率（一維而言），那個函數叫位勢。
什麼是位勢？位勢是一個函數，其斜率（三度空間是梯度）是力
注意：由於積分常數的關係，位能可次有一個任意加上的參考值。一般而言，系統在兩個狀態之間的位能差才有意義。
常見重要的保守力與它們的位能公式
重力（尤其是地表附近重力）
f = -g m
f = -dU/dh
P.E. = -g m h
彈力
在彈性限度內，彈簧的伸長量與張拉力成正比
f = -k x
f = - dU/dx
P.E. = 1/2 k x2
靜電力
又稱庫倫力
機械能（或叫力學能）與其守恆
動能加位能，定義為機械能
沒有外力的影響下，機械能守恆
漂亮的守恆證明，會在質點系統單元呈現（參考該單元）
單擺系統（或盪鞦韆）的動能與位能的變化
見課本圖 8-6（如何由牛頓定律理解？位勢有推力，質量有慣性）
力學的建立
從運動方程式出發
找到能量這個守恆量
同時定義 動能 與 位能
了解對稱性與守恆律
非保守力（耗散力）、與非慣性座標系
下個單元我們要介紹。
例題、習題、作業 與 討論
2-* 無空氣阻力時，在平地上最遠拋射積來自 45 度仰角（證明詳解見課本）。
助教示範推導：Ch2-8 再論等加速度運動
4-7 砲擊海盜船
5-4（學生自行閱讀）
5-5 光滑斜面加速度
5-6 雲霄飛車
7-2 斜向施力求作功
7-5 斜面拉上之重力作功
7-8 彈力作功
8-3 水滑梯求末速
討論
雨天過街走或跑？（假設身體為矩形，要考慮雨是直打或斜打）
磚磈上下綁繩拉斷那根？
作業
牛頓生平及其科學域就小傳（限手寫）
