波速與波動方程式的推導

橫置之長彈簧（如 slinky）

繩波

策略要點：繩子要有脈衝波，一定要有上有下，這意味著 (1) 須要兩個相鄰近點的弦弧斜率改變（這部分提供對空間微分兩次），此外，(2( 這個斜率改變來自受力不均等（受力差），而這部分提供了時間微分兩次）。（引述自 Halliday 課本的講法）

第一部分

張力 τ

τ=  | F₂ | = | F₁ |  = '√()

微小振幅，所以 F_2y << F_2x、F_1y<< F_1x

F_1x = F_2x = τ

斜率 (slope)

S₂ = F_2y / F_2x 、 S₁ =  F_1y / F_1x

故垂直力與斜率有簡單關係

F_2y = τS₂ 、 F_1y = τS₁

也就是斜率差（曲率 × dx）正比於垂直力差（剪力）

 

第二部分

F_2y - F_1y  = dm a_y = (μ dx) a_y = (μ dx) d²y/dt²

 

綜合前兩部分

τS₂ - τS₁ = (μ dx) d²y/dt²

(S₂ - S₁) / dx = (μ/τ) d²y/dt²

由於斜率本身就是 dy /dx，上式左邊即為函數對空間座標微分兩次

d²y/dx² = (μ/τ) d²y/dt²

以上即波動方程式，故其波速是 v = √(τ/μ)

 

 

 

 

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