微積分快速入門

流動的數學

馬車載酒從農莊到城堡一天可到，酒量與空馬車一樣重。某日出發時酒桶沒封好，一出發便漏，到達時剛好漏光光。問馬車花多久時間到達？

某聰明人說：「滿載與空桶平均的時間」，真的是連樣嗎？

 

極限

具有特定行為模式的現象或事物，其極限情況可以想像。（富不過 N 代？）

極限情況趨於單一結果者，數學上稱為

函數的極限

lim _x→x0 f(x) = L

任給 ε > 0 ，存在 δ > 0，使得 | x-x0 | < δ 範圍內的 x，f(x) 都落在 | f(x) - L | < ε 範圍之內。

連續

連續可以用極限

圖像：不斷放大的一條連續曲線

（黑板作圖）

數學語言：函數 f(x) 在 x₀ 點連續，即意味 lim _x→x0 f(x) = f(x₀)

 

微分快速入門

 

定義

d f(x) / dx ≡ lim_Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)] / Δx

 

基本微分公式

d C / dt = 0

d x / dx = 1

d ax / dx = a

d xⁿ /dx = n x^n-1

d e^x / dx = e^x

d ln(x) / dx = 1/x

d sin(x) / dx = cos(x)

d cos(x) / dx = -sin(x)

d (f+g) / dx = df/dx + dg/dx （線性）

d (fg) / dx = g (df/dx) + f (dg/dx) （萊布尼玆律）

df(y(x))/dx = (df/dy)(dy/dx) （鍊鎖律）

 

泰勒展開式

詳見「高中物理人才培育計畫：微積分」

 

積分快速入門

等速運動一段時間之後的累積路程

x = v t

圖像解釋：距離 是 速度-時刻 圖形下的面積

 

等加速運動一段時間之後的累積路程的

v_初 = 0

v_末 = a t

x = (1/2) a t²

解釋

x = Σ^N_i=1 v_i Δt

其中 Δt = t / N

三角形面積 = "底" 乘以 "高" 除以 "2"

圖像解釋：距離 是 速度-時刻 圖形下的面積

 

任意速運動一段時間之後的累積路程

與前二例定義相同

x = Σ^N_i=1 v_i Δt

其中 Δt= ( t_fnl - t_ini ) / N = ( t - t₀ ) / N = ( t - t₀ ) / N

（畫圖細分，N很大）

圖像解釋：距離 仍是 速度-時刻 圖形下的面積

 

幾何（數學）結論：

函數的積分得函款圖形下的面積

函數的斜率，積分後是原函數加一常數

 

積分就是反導數

 

 

重要積分公式

∫ dx = x + C

∫ aⁿ dx = [1/(n+1)] xⁿ⁺¹ + C, where n is a positive integer (i.e., n =0,1,2,3,4, ....)

∫e^x dx = e^x + C

∫ (1/x) dx = ln x + C

∫cos(x) dx = sin(x) + C

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

 

有固定上下限範圍的的積分

若 dF/dx = f(x), 即 ∫f(x) dx = F(x) + C，則

∫^x=b_x=a f(x) dx = F(b) - F(a)

∫^x=b_x=a dx = b - a

∫^x=b_x=a x dx = (1/2)b² - (1/2) a²

 

重要性質說明

積分是微分的反運算

如何看出？

以下就來看看，

∫_to^t (d/dt') v(t') dt' 是否 = v ？ (1)

以及

(d/dt)∫_to^t v(t') dt' 是否 = v ？ (2)

 

(1) 式證明

∫_to^t (d/dt) v(t') dt'

= lim_{N →∞} Σ^N_i=1 (d/dt) v_i Δt

= lim_{N →∞} Σ^N_i=1 lim_{Δt →∞} {[v_i (t_i + Δt) - vi(t_i)]/Δt }Δt

= lim_{N →∞} Σ^N_i=1 lim_{Δt →∞} [v_i+1 - v_i]

= lim_{N →∞} Σ^N_i=1 [v_i+1 - v_i]

= lim_{N →∞} [ Σ^N_i=1v_i+1 -Σ^N_i=1 v_i ]

= lim_{N →∞} [ v_N+1 - v₁ ]

= v_final - v_initial

 

(2) 式證明

(d/dt) ∫_to^t v(t') dt' = (d/dt) [x(t) - x(t₀)] = v(t) - 0 = v

 

所以說，「積分是微分的反運算」，意味著

∫ df = f

（將將將講）這個簡單的關係成立。

 

什麼是 df ?

df 叫作是函數 f 的全微分 (Total derivative)

如果 f 是單變數函數 f(x)，則 df = (df/dx) dx

如果 f 是雙變數函數 f(x,y)， df = (∂f / ∂x) dx + (∂f / ∂y) dy

如果 f 是三變數函數 f(x,y,z)， df = (∂f / ∂x) dx + (∂f / ∂y) dy + (∂f / ∂z) dz

上面的式子中，dx 是什麼我們很清楚，就是 被 Δx → 0 後的 Δx

至於新符號 ∂f / ∂x

∂f / ∂x ≡ lim _{Δx → 0} [ f(x+Δx, y) - f(x, y) ] / Δx

 

問：你覺得， df(x,y) = (∂f / ∂x) dx + (∂f / ∂y) dy ，有道理嗎？

 

向量版本的記號縮寫（純粹為了方便，別怕奇怪的符號）

df = (∂f / ∂x) dx + (∂f / ∂y) dy + (∂f / ∂z) dz = ∇f · dr

其中 dr = (dx, dy, dz) = dx e_x + dy e_y + dz e_x

∇f = ( ∂f / ∂x, ∂f / ∂y, ∂f / ∂z ) = e_x ∂f / ∂x + e_y ∂f / ∂x + e_x ∂f / ∂z