波動光學
干涉現象
波動的光
惠更斯是最早先提出可令人信服之光的波動理論的人 (1678) ，雖不如馬克斯威爾方程式來得完整，但卻可用簡單的作法說明反射、折射現象，以及闡明折射率的物理意義。因此值得我們來了解一下。
惠更斯原理
波前上的每一點均可視為球面子波的點源波，經過一段時間 t 之後，波前的新位置將為這些子波的切面位置。
由上圖可見，波前的法向量維持不變，因此波的方向持續向前，故可說明光是直線進行。
折射定律
不同介質中光速不同，但它們是來自同一道光因此頻率相同，如此則波長不同，有以下關係
v1 / v2 = λ1 / λ2
上圖中之 三角形 的 角 ceh 與 角 hgc 是直角（因為行進方向與波前垂直）
sinθ1 = λ1 / hc
sinθ2 = λ2 / hc
兩式相除並以速率代換替波長
sinθ1 / sinθ2 = λ1 / λ2 = v1 / v2
現在我們可以由光速在真空與介質中的不同來定義該介質的折射率：
n = c / v
其中 v 是介質中的光速。
對於兩種介質，n1 = c / v1、 n2 = c / v2，由前面的結果
sinθ1 / sinθ2 = v1 / v2 = n1/ n2
即 （司涅耳）折射定律
n1sinθ1 = n2 sinθ2
得證。
另一導法 ( 基本上相同 )
同一波前推進，所需時間相同
λ1 / v1 = λ2 / v2
=> λ1 / λ2 = v1 / v2
sinθ1 = λ1 / x
sinθ2 = λ2 / x
=> sinθ1 / sinθ2 = λ1 / λ2 = v1 / v2 = ( c / n1) / ( c / n2 ) = n2 / n1
=> n1sinθ1 = n2 sinθ2
如何在馬克斯威爾方程式中看到惠更斯原理？
波長與折射率
現在之看光線從一個介質進入另一個，伴隨光速之改變所造成的波長變化情形。因為光速與介質有關，因此波定與介質有關。假設某單色光在真空中有波長 λ 與光速 c， 在介質中則有波長 λn 與光速 v，該介質折射率是 n，則前面根據惠更斯原理 得到的 v1 / v2 = λ1 / λ2，我們有
λn = λ v / c
其中將折射率 n = c / v 用上，則
λn = λ / n
這說明了同一道光，在介質中的速度不一樣、波長就不一樣。
至於頻率，則是相同（見下），這是深植在惠更斯原理中。
fn = vn / λn = ( c / n ) / (λ / n ) = c / λ= f
干涉
建設性 與 破壞性
直接將波函數（波之時間、空間的變化關係）相加即可（重疊原理）
superposition principle of waves
彩虹與干涉
繞射
"要準備干涉現象，要先了解波之繞射的基本特性"（why ?）
"為了準備干涉現象的討論，要先介紹波之繞射的觀念"，後面會再談到更多。見水波實驗圖，以及入射波圖解，孔洞若夠小與波長相近，通過之波會向外散開，這就叫繞射。
楊氏干涉實驗
第一個證明光是波的實驗
這個實驗讓我們看到亮暗紋
條紋的位置
ΔL = d sinθ
圖 (H 35-7B, 34.9)
d sinθ= m λ （亮紋）
d sinθ= (m + 1/2) λ （暗帶）
同調性
要看到干涉條紋，則到達幕上任一點的光波都要有 "不隨時間變化的相位差"。楊氏干涉實驗中 S1 與 S2 出來的光 "完全同調" ，它們來自通過 S0 的單一個波。
陽光是部分同調，是說陽光只有在截面上靠近的兩個點才有固定的相位差。
讓光通過狹縫，才能產生同調光，並且由於狹縫小，也才均勻繞射到兩個狹縫上，而利於干涉實驗。
若用兩個獨立光源，如兩白熱燈，則沒有同調性（課文說相位的變化快到眼睛看不出來干涉）。
雙狹縫干涉的強度
前面的 d sinθ= m λ或 (m + 1/2) λ 給的是極大與極小的位置，在此則要給出強度隨角度的分佈：
I = 4 I0 cos2(φ/2)
其中
φ= 2πd/λ sinθ
由這兩式，分析最大亮度與最小亮度要發生在什麼位置角度，則可得回 d sinθ 公式。
上兩式 35-22, 35-23 之證明
利用 phasor 方法處理
E1 = E0 sin(ωt)
E2 = E0 sin(ωt + φ)
phasor 合成
E = 2 ( E0 cos β )
其中 β= φ /2 （等腰三角形兩內角和等於第三角之外角）
I ∝E2 = 4 E02 cos2 φ /2
I / I0 =E2 / E02
I = 4 I0 cos2 φ /2
得證
圖 35-7b
相位差 = (2 π/λ) 路徑差
故
φ= (2π/λ) ΔL = 2πd/λ sinθ
得證
兩個以上的波合成
(1) 畫出一組相量（phasor）來代表代加函數，將這些相量保持相位關係頭尾相接
(2) 用一向量連起上述相量和的尾到頭。此向量和的長度為合成之振幅，與第一相量之夾角為與第一相量之相位差。向量在縱軸上的投影則是合成波對時間的變化。
例題 35-4
薄膜干涉
考慮幾乎垂直、厚度很小
反射之相位偏移
case 1 粗繩 到 細繩
case 2 細繩 到 粗繩
重球 撞 輕球 v.s. 輕球 撞 重球
薄膜干涉方程式
(m + 1/2) λair / n = 2t (m ∈ Z )（建設性）
例題 34.1 鏡面鍍膜
干涉現象
薄膜厚度遠小於 λ
蝶翼與紙鈔的變色現象
邁可森干涉儀
距離 (的變化) 可以用光波作精確的測量
1/4 λ的長度變化，就可以條紋由亮轉暗。
（以太不存在，史上 "最成功的失敗實驗"）
繞射現象
繞射與光的波動理論
前章在介紹楊氏雙狹縫干涉的時候有提到，單狹縫拿來作為獲得完全同調光源的光。波長與狹縫相當的光波，在通過狹縫後，以球形波方式散開，主要還只在討論光線離開狹縫沒多久後的波前概況。
補充
本章要比較完整地探討，討論繞射波在傳播比較遠之後，因波動性質所能造成的強度變化及其不同的應用面相。
弗瑞奈亮點
法國科學院內光粒子派支持者的積極辦活動，與繞射有關的論文的有獎徵文。
帕松提出，如果弗瑞奈之理論正確，將會有光線進入球體陰影而在中心有一亮點的 "奇異結果"，
單狹縫繞射：找出極小的位置
利用簡單而巧妙的方法，把整個單狹縫看成偶數個組的等寬通道，如圖。
對於遠處屏幕的一點，如果相鄰通道的第一道光路徑直線成對造成破壞性干涉，則可想像平移任一小段的成對光路徑全部都抵消，故為一暗點。
a / 2 sinθ = λ/ 2
即，
a sinθ = λ
以上是第一極小（暗紋）出現的角度
同理，第二極小可分成四段，
a / 4 sinθ = λ/ 2
即，
a sinθ = 2λ
以上是第二極小（暗紋）出現的角度
以此類推
a sinθ = m λ
m = 1, 2, 3 . . .
（為什麼不能用奇數分段？因為會配不完，一定要偶數段。）
單狹縫繞射強度的定性分析
相位差 = (2 π / λ) 光程差
Δφ = (2 π / λ) sinθ
再利用 phasor 方法相加
幾種可能的情況如圖 36-6
單狹縫繞射強度的定量分析
強度（亮度）與角度的關係是
I(θ) = Im ( sinα/α)2
其中
α = 1/2 φ = (πa / λ ) sinθ
依強度公式去分析，的確會導致有暗紋發生在
a sinθ = m λ，m = 1, 2, 3 . . .
上兩式（36-5 式 及 36--6 式）之證明
以 Δx 作必微分段，用 phasor 方法累加各光束不同相位差之貢獻。
見圖 36-8
相位差 phi 在此幾何中有以下關係
sin (φ/2 ) = Eθ /2R
將圖中 Em 考慮成弧形，可以將弧度表示成
φ = Em / R
將 R 代入上上式，則有
sin (φ/2 ) = Eθ / 2R = Eθ φ / 2 Em
因為強度與電場平方呈正比
I(θ) / Im = Eθ2 / Em2 = [ sin (φ/2 ) / (φ/ 2 ) ]2
故
I(θ) = Im [ sin (φ/2 ) / (φ/ 2 ) ]2 = Im ( sinα / α )2
得證。
再來，要找 α 與 θ 之間的關係，利用相位差與光程差之間的關係
φ = (2 π / λ) a sinθ
故
α = φ/2 = ( πa / λ) sinθ
得證。
圓孔繞射
sinθ = 1.22 λ / d
回憶單狹縫繞射的第一極小位置
sinθ = λ / d
有類似之處，其中 1.22 是圓孔形狀所造成的。
鑑別率
透鏡成像是繞射圖樣的事實，促使我們必須研究物與像對應的問題，也就是鑑別率問題。
鑑別率與角度的關係
兩點光源的繞射結果，如果接近到其中一個的中央極大落在另一個的第一極小上，則認定為開始不能分辨，
θR = sin-1(1.22λ/ d)
小角度時，為 sinθ 與 角度 θ 可近似為一樣
θR = 1.22λ/ d
請注意前兩式得到的θR 並不是兩物體間距造成的角度。實際觀察時的視角 θ 還要跟 θR 來比。
這裏的 d 是光學系統中（最小）的孔徑大小
這個視角度，來自 D / L 的分析，其中
利用透鏡來鑑別小角度間隔之物體，必須使繞射效應儘量減小。由本節本討論，增加透鏡直徑或減小波長皆可達到此目的。（相機越好、鏡頭越大；藍光 DVD 記錄密度比過去的紅光高。）
雙狹縫繞射
前章有講過雙狹縫干涉，這裏更進一步談雙狹縫繞射。
見圖
相當於是一個單狹縫繞射與一個雙狹縫干涉乘在一起，
I(θ) = Im (cos2β) (sinα / α)2
其中
β= ( πd / λ) sinθ
α = ( πa / λ) sinθ
（無限遠光源繞射是相當於富利葉轉換，長物件得短條紋；短物件得長條紋。）
繞射光柵
亮線發生在，見圖
d sinθ = m λ
m = 1, 2, 3, . . .
其結果如下示意圖
線寬（這與光柵分光的解析度有關，越細解析力越強）
第一極小在
N d cosΔθhw = λ
中央線半寬度
Δθhw = λ/ N d
（不證明，直接給）
在θ 處之線的半寬度
Δθhw = λ / ( N d cosθ )
光柵分光儀
光學可變圖
全像片曾作拿防偽，但效果不好。(1) 近看才清楚，(2) 易仿（實物拍照）
很多卡改用 OVG，每個部分都有不同的光柵，看得清楚，又很難反推去決定光柵條紋的細節。
光柵：色散與猛鑑別度
色散度
D : = Δθ / Δ λ
D = m / (d cosθ )
鑑別率
R : = λavg / Δ λ
R = N m
36-30 式的證明
36-32 式的證明
色散度與鑑別率的比較
組織化層狀結構的繞射
X-射線繞射
1912 年德國科學家 Max von Laue 想到，晶體裹的原子也可以扮演繞射光柵的角色，來對 X-射線產生繞射。
會產生建設性干涉的分析，見圖：
（在作圖上雖然以有原子構成的虛擬平面來作為反射 X-射線，像是處理薄膜干涉的那樣，但結果是仍是對的）
這個虛擬的平面，只有某些地方有原子，這個跟在不同面上隨便取一些原子拿出來做繞射的探討（則結果一定會不同），有什麼不一樣？在我們定出的面，雖然不是面的處處都有原子，則另一個面也沒有在正下方有原子，但是有很重要的一點，就是面上的原子排列有規律性、週期性，並且定出來的面之間也有會重覆的週期性。
2 d sinθ = m λ （Bragg's Law）
其中 m = 1, 2, ....
這裏的分析處理方式，稱為 kinematics 理論，這是一種工具性的理論，以比較簡化的近似方法討論。另有 dynamics 理論，有較完整的理論推導。一個比較完整的的計算方法，是把整個晶體作富利葉轉換，而由於富利葉轉換是線性的，因此一層一層可以拆開來處理，至於對單一層的散射，則依惠更斯原理的探討，反射角等於入射角。
獲得可以了解原子如何在晶體中排列的工具，不但開啟了固態與材料物理的研究，也促成了 DNA 密碼的解出，對於物質科技與生命科技的發展有關鍵性的貢獻。
繞射引發的結構性顯色
見圖 36-28
自然界最亮的果實
http://www.cam.ac.uk/research/news/african-fruit-brightest-thing-in-nature-but-does-not-use-pigment-to-create-its-extraordinary-colour/
例題
36-3
36-4