馬克斯威爾方程式 與電磁波

 

馬克斯威爾方程式

 

磁場的高斯定律

磁單極(目前所知)並不存在

ΦB = ∫CS B · dA = 0

比較電場的高斯定律

ΦE = ∫CS E · dA = qenc / ε0

磁折成幾段,每一段都變成磁鐵,各自有 N、S 極,如圖 32-2

討論題:所以,打斷的磁鐵,應該自已可以吸在一起而保持原來的形狀,對嗎?

 

感應產生的磁場 (Induced Magnetic Fields)

法拉第感應定律是 "磁變生電"

CL E · ds = - dΦB / dt

而馬克斯威爾感應定律則是 "電變生磁"

CL B· ds = μ0ε0E / dt

實驗證明的確如此。

這種感應的一個特殊例子是正在充電中的電容器

 

安培-馬克斯威爾定律

回憶安培定律

CL B · ds = μ0 ienc

而前一小節的馬克斯威爾感應定律等號左邊,也出現同樣的磁場環路積分,我們可以合併這兩個方程式:

CL B · ds = μ0ε0E / dt + μ0 ienc

稱為 安培-馬克斯威爾定律

 

位移電流

這是馬克斯威爾最後統合四條一組方程式的最後一塊拼圖(達成公式的美麗與完整)(為什麼?因為電與磁的地位對稱,也因為波動方程式才推導得出來,見下)。我們看上面的 安培-馬克斯威爾定律之等號右邊的兩項,而設想一假想電流,位移電流

id = ε0E / dt

CL B · ds = μ0 id,enc + μ0 ienc

如此,就都可用電流源來理解磁環路。

位移電流的物理意義

變動中的電場,可視為電容上的充電電荷正在變化數量(因此電力線的數目也才會變化),而能造成電容充電的,正是電流。此電流不是真有電荷傳輸過去,而是累積在電容器上的電荷分離,因此才叫電位移。故造成類似電容器充電的充電效應的假想電流,叫位移電流。

 

求感應磁場

對半徑 R,正在充電的平板電容,我們可用 id 來求感應磁場的大小,電容之內距中心為 r 的點其磁場大小為,

B = (μ0 id / 2πR2) r

在電容器外則是

B = μ0 id / 2πr

 

馬克斯威爾方程式(組)

在沒有介電質或磁性質存在的情況下,四條方程式整理如 表 32-1 :

高斯定律
磁學高斯定律
法拉第感應定律
安培-馬克斯威爾定律

 

馬克斯威爾方程式(組)也有微分型式

這四個一組的方程式描述所有巨觀的磁、電、光現象,甚至光的速度也藏在其中。固定的光速值還引發了近代物理的新革命。

透過微分型 Maxwell's Equations 的推導整理,可得知電場與磁場各自需滿足(特徵是同時具有對空間兩次微分與對時間兩次微分的)波動方程式 :

推導方式如下:

 

電磁波

 

馬克斯威爾的彩虹

馬克斯威爾的重大成就是證明了光就是電場與磁場所形成的電磁波。

 

行進電磁波的的定性分析

產生行進電磁波的裝置

見圖 33-3,一個 RLC 電路並配合天線,就能夠發射電磁波。

 

行進電磁波的重要特徵

1. EB 各自垂直於行進方向

2. EB 互相垂直

3. E × B 即是波行進的方向

4. 場總是依正弦型式在改變

 

E = Em sin(kx - ωt)

B = Bm sin(kx - ωt)

波速

c = 1 / √(μ0ε0)

E / B = c

 

一個最難以理解的波

電磁波並沒有(不需要)傳播的媒介,光速在所有座標系中都之一樣的值。它與時間一起,是時空間結構的一部分。

 

行進電磁波的的定量分析

電場與磁場們雙重感應可提供我們光。

推導 Em / Bm = c

在 dx 的距離之兩端,電場為 E 與 E + dE,取 h 作長而與 dx 的寬形成的面積堙A討論該面積迴路中的感應磁場,利用法拉第定律

CL E · ds = − dΦB / dt

CL E · ds = ( E + dE ) h - E h = h dE

ΦB = ( B ) ( h dx ),故

B / dt = h dx dB/dt

代入法拉第定律,得

h dE = - h dx dB/dt

即 dE / dx = -dB / dt

事實上,E、B 皆為時間與空間的函數,上式應作

∂E / ∂x = -∂B / ∂t

我們把 E = Em sin(kx - ωt) 及 B = Bm sin(kx - ωt) 當作是己知,則有

∂E / ∂x = k Em cos(kx - ωt)

∂B / ∂t = - ωBm cos(kx - ωt)

故有

k Em cos(kx - ωt) = ωBm cos(kx - ωt)

k Em = ωBm

我們知道行進波的波速(相速度)是 ω/ k ,故

Em / Bm = ω/ k = c

 

推導 c = 1 / √(μ0ε0)

見課文

圖 33-7

討論 dx 範圍兩側的磁場值 B 與 B + dB,利用磁場環路積分與電通量變化關係的 安培-馬克斯威爾感應定律

CL B · ds = ε0 μ0E / dt

CL B · ds = - (B + dB) h + B h = -h dB

請注意由於迴路方向的設定,上式的第一項是負的

ΦE = ( E ) (h dx)

對上式微分

E / dt = h dx (dE / dt)

另外注意 上式對時間微分不會作用到 dx,因為這堭敦Q的函數是場,對場而言 x 只是空間的舞台自變數,不像是粒子的軌跡函數 x(t) 那樣。

全部代入安培-馬克斯威爾定律,得

-h dB = ε0 μ0 h dx (dE / dt)

-∂B / ∂x = ε0 μ0 ∂E / ∂t

現在代入 B、E 的行進波的正弦函數

- k Bm cos(kx - ωt) = -ε0 μ0 ωEm cos(kx - ωt)

k Bm = ε0 μ0 ωEm

Em / Bm = 1/ ( ε0 μ0 (ω/k) ) = (1/ ε0μ0 ) (1/ ( ω/ k ) ) = 1/ ε0μ0 c

由前面己知的 Em / Bm = c,則得

c = 1 / √ ε0μ0

(從這塈A可以看到,光速就藏在馬克斯威爾方程式組堙C光速的測量,可以分別做電容及電感實驗來量到。)

 

能量傳輸與波印亭向量

S = 1 / μ0 E × B

S = 1 / μ0 E B

因為 E / B = c

S = 1/(cμ0) E2

以上是瞬間的能量流率

I = Savg = 1/(cμ0) [ E2 ]avg = 1/(cμ0) [ Em2 sin2(kx - ωt) ]avg

Erms = Em / √2

I = 1/(cμ0) Erms2

問,這堶措q場佔大部分嗎?

由電場的能量密度出發展開

uE = 1/2 ε0 E2 = 1/2 ε0 (cB)2 = 1/2 ε0 c2 B2 = 1/(2μ0) B2 = uB

恰好等於磁場能量密。因此,這堶悸犒q場能量密度與磁場能量密度是一樣大的。

 

強度隨著距離而改變

一個真實的電磁幅射源,其強度隨距離的變化是複離的

基於能量守恆,考慮為點光源

強度 = 功率 / 面積 = Ps / 4 π r2

 

光之幅射壓

光不但有能量,也有動量。(沒質量的東西也可以有有動量?在相對論申會再說明。)

完全吸收所造成的動量改變

Δp = ΔU / c

沿原路徑所造成的動量改變

Δp = 2 ΔU / c

若是部分吸收部分反射,則動量改變介於上兩者之間。

由牛頓定律,動量變化與力之間的關係為

F = Δp / Δt

另外,為表稍後要以幅射強度 I 來表示幅射壓,請注意強度是

強度 = 功率/面積 = (能量/時間)/面積

故有

ΔU = I A Δt

則,對完全吸收

F = Δp / Δt = ΔU / ( c Δt ) = I A Δt / ( c Δt ) = I A / c

對完全反射

F = Δp / Δt = 2 ΔU / ( c Δt ) = 2 I A Δt / ( c Δt ) = 2 I A / c

則幅射壓,對完全吸收為

pr = I / c

對完全反射

pr = 2 I / c

 

幅射壓玩具 Radiometer

http://www.youtube.com/watch?v=MbdPgc7e0R0&feature=related

 

波長與阻隔的關係

微波爐的門的功能。

 

偏振

電場是在一個平面上振盪,見圖 33-9

 

偏振光

電視臺發出的電磁波有特定偏振方向,一般光源或日光則是隨機偏振,也叫非偏振

可藉由通過偏振片而把非偏振光變成部分或完全偏振光,此因偏振片上有排列整理如犁溝的長鏈分子。

 

穿透之偏振光的強度

I = I0 / 2

對己偏振的光而言,若 θ 為與偏振片允許電場通過方向之夾角

Ey = E cosθ

I = I0 cos2θ

見 例題 33-2 之圖

 

 

偏光片的生活應用

3D 電影

 

釣魚、開車用太陽眼鏡

 

透過緩慢旋轉的偏光片來看書本印刷油墨所發出來的炫光(教室現場自製影片,點擊下圖即可撥放)

 

旋光性與糖度檢測

糖分子有旋性(如左右手有鏡像性稱,但左右手卻不一樣)

電磁幅射傷害?

http://tepca.blogspot.tw/2010/08/blog-post.html