電磁感應

 

法拉第實驗

電磁學的實驗歷程

富蘭克林(美國):風箏集電

伏打(義大利):電池

奧斯特(丹麥):電流偏轉磁場

法拉第(英國)及 亨利(美國):電磁感應

 

電磁感應

 

法拉第感應定律

陳述

通過迴路之磁力線數目改變,會感應引發迴路上的電位差。

公式

ΔVind = - dΦB / dt

其中

ΦB = ∫CL B · dA 叫磁通量,單位是韋伯 (Weber) Wb,1 Wb = 1 T m2

 

楞次定律

感應電流造成的磁場會抵抗原磁通量的改變,如此可決定感應電動勢的方向(正負號)。

 

渦電流

 

金屬探測器

機場登機前都會通過金屬探測器。門一側有發射迴路(不斷改變電流大小及方向以產生磁場變化)、一側有接收迴路,其上會有感應電流。當有金屬存在於其間時,金屬上發生渦電流而造成接收迴路上的電流變小。

問題思考:你如果是 007 或是馬蓋先,如何挾帶金屬手槍通過感應器而不被偵測到?

路面下也有裝矩形線圈迴路,並發射電流脈沖,此裝置既是發射器也是接收器(不像機場者)。藉由監控脈沖後電流隨時間的變化,其上方有車時,車體中的渦電流使脈沖後路面下矩形迴路電流有所不同,如此可作為燈號切換的依據。

 

導線通過磁場獲得的電位差

FB = e v B = FE = e E

E  = v B

ΔVind = v l B

例題:太空梭釋出衛星導線的電位差

 

電磁爐 (Induction Stove)

鐵鍋?鋁鍋?

 

馬達與發電機

 

油電或電動車的剎車充電機制。

 

感應電場

CL E · ds = - dΦB / dt

 

定義電感

雖說只要知道磁通量變化,就知感應電場或電動勢,但電路中會造成磁場的元件,也是因為有電流流過,直接算各元件的磁通量及其變化還是比較麻煩。

貯存電位能的元件電容,以及描述電耗的元件電阻,先前都已建立過各自適用於在電路中被描述的(與電流或電壓有關的)行為關係,如 電容的 q = CV 以及電阻的 V = i R 。現在,為了方便計算電路中的電流(以及所有電路上的物性),有沒有公式可以描述 "感應電電動勢與電流的關係"?

有,定義 "電感" 這個量,它就可以直接讓我們描述感應電電動勢與電流的關係,見下:

 

螺線管的電感

(只有螺線管的電感是比較簡單的,並且也很夠用了,故在此只談它)

考慮有一個長螺線管具有總匝數 N ,電流 i 時管截面磁通量為ΦB。在此我們需要一個電流與磁通量關係的比例常數,滿足如下形式:

N ΦB = L i

在此 L 定義為電感(其意義為電流與磁通量聯結 flux-linkage N ΦB 程度的大小)

很明顯地,前面有多乘了一個 N ,這樣定義的原因是,我們知道螺線管內的磁場 B = μ0 n i ,除了電流大小外,就只與單位管長的匝數有關。 然而對於螺線管電感器而言,匝數有多少, 感應電動勢強度就有乘上多少倍,我們因此需要的這個電感值的定義,能夠反映出匝數 N 越多則電感值 L 就會越大這樣的特性。

註:因次分析 [L] = [ΦB] / [i];單位亨利 1H =  1 T m2 / (1 A)

對於螺線管而言,

N ΦB = (n l) (BA)

故其電感大小是

L = N ΦB  / i = (n l)  ( μ0 n i ) A / i = μ0 n2 l A

 

 

自感與互感

我們在前面章節討論過電阻與電容的串聯及並聯方式的結果,那麼電感器在迴路中的組合是怎樣的情形?

自感

先看一個電感器在迴路中會怎麼樣

在線路中的元件,只要具有透過電流線圈建立磁場的能力,該線圈自然會有磁通量,也因此就有自行發生(電磁)感應 的情況。

關鍵:線圈不只是產生磁場,線圈糸統也有包到自已產生的磁通量

根據電感 L 的定義,它電流大小 i、線圈匝數 N 以及磁通量大小 ΦB 有關。

L = N ΦB / i

N ΦB = L i

自感電位差,根據法拉第定律 及 螺線管 N ΦB = L i

ΔVind,L = - d (N ΦB) / dt = - L di / dt

也就是說

EL = - d(NΦB) / dt

EL = - L di / dt

以上是自感電動勢

注意,這個會收變的磁場所造成的電動勢是被每個線圈倍加的

 

互感

考慮兩組很接近的線圈,

先以 Φ21 代表 由線圈 1 所產生,通過 N2 匝之 2 號線圈的磁通量,又定義線圈 2 對應於線圈 1 的互感 M21, 則根據電感的基本定義(見提醒),有:

M21 = N2 Φ21 / i1

提醒:為什麼要這樣定義電感值?磁通量變化導致感應電動勢,本來巳經有法拉第定律描述。然而,固定電流產生固定的磁場,就不會有磁通量的變化,我們若想要描述感應電動勢與電流變化的關係,就需要以 L i = N ΦB 的方式定義電感,因為兩邊各對時間微分 d/dt。EL = - L di / dt = - N dΦB / dt 。

上述定義導致

M21 i1 = N2 Φ21

兩邊同時對 時間微分 d/dt,得

M21 di1/dt = N221/dt

E2 = - N221/dt = - M21 di1/dt

E2 = - M21 di1/dt

同理,

E1 = - M12 di2/dt

另外,可以證明(在課文中沒證)

M12 = M21 = M

因此上兩式簡化為

E2 = - M di1/dt

E1 = - M di2/dt

 

RL 電路

之前學過 RC 電路,其結果是

充電時

q = C Vemf ( 1 - e-t /τ)

放電時

q = q0 e-t /τ

其中 τ=τRC = R C 為 RC 電路的時間常數。

如果現在改放電感與電阻如下圖

充電時變成

Vemf - i R - L di/dt = 0

其解是

i(t) = Vemf / R ( 1 - e-t /(L/R) )

同理,放電時

- i R - L di/dt = 0

i(t) = i0 e-t /(L/R)

亦可定 τRL = L/R 為 RL 電路的時間常數。

 

 

 

磁場的能量與能量密度

回憶電場的能量可存在電容

UE = 1/2 q2 / C

磁場的能量可視為貯存在電感器中,以下推導

功率 P = Vemf i = (L di/dt) i

則電流轉入電感的總能量 (磁能) 為

UB = ∫ P dt  = L ∫i di/dt dt = L ∫i di = 1/2 L i2

以螺線管為例,L = μ0 n2 l A ,故代入 UB = 1/2 L i2

UB = 1/2 μ0 n2 l A i2

則磁能量密度為

uB = UB / (l A) = 1/2 μ0 n2 i2

回憶螺線管內的磁場 B = μ0 n i,故

uB = 1/(2μ0) B2

上式雖為螺線管之結果,但對任意磁場都是對的。

 

 

http://www.teepr.com/63934/%E7%A3%81%E9%90%B5%E9%9B%BB%E8%BB%8A/

 

當代科技應用:磁碟機寫入頭

最新的 HD,讀取頭的部分,使用簡稱為 GMR 的巨磁阻效應(2007 諾貝爾物理獎),它意指微小的磁場變化會導致極大的電阻差異,如此可造出極靈敏的磁頭 。