振盪 與 Normal Modes

研究振盪的重要

這個世界充滿了振盪（地震、東西掉落觸地的響聲）

 

簡諧運動

回復力的運動方程式

ma = -kx

m d²x/dt² + k x = 0

d²x/dt² + (k/m) x = 0

解 x(t) = A sin(ω₀ t + φ₀) , where ω₀ = √(k/m)

代回驗算可以確認的確是解（加上相位角 φ₀ 就更完整）

另外，也可看影片

初始條件

二階微分方程式一定有兩個待定常數，我們因此預期要有兩個初始值條件，例如：一開始時之位置以及一開始時之速度。如此就恰可以把振幅 A 及相位角 φ₀ 定出來

 

簡諧運動與圓周運動

圓周運動的位置函數 r(t) = ( r cos(ωt + φ₀) , r sin(ωt + φ₀) ) ，恰好其 x 或 y 分量都構成簡諧運動。

 

擺

小擺幅（即小擺角）且繩重不計時，可簡化為簡諧運動

從力的分析圖來看

可得角加速度方程式，其形式與前一節 SHO 一模一樣

d² θ / dt²  + (g / l) θ = 0

我們因此知道解也會有完全相同的形式

推導出上式的過程，請見課本 Bauer Derivation 14.1 或 Halliday 15-6 內文

本來是先得到

d² θ / dt²  + (g / l) sinθ = 0

至於 θ 與 sinθ到底多接近，從下圖可見

 

擺的周期與頻率

T = 2π / ω₀ = 2π √(l / g)

f = 1 / T = √(g / l) / ( 2π)

圖 14.12 繩長 4:1 的兩個擺（請注意與質量無關），周期為 2:1

例題 14.3 限制了的擺

諧和運動過程的功與能

彈簧質量系統

彈力位能 的公式是 U_s(x) = 1/2 k x²

故初始總能（靜止狀態）E = 1/2 k A²

基於機械能（力學能）守恆，任何時刻 E = 1/2 k A² = 1/2 m v² + 1/2 k x²

如此可得 v = √[( A²- x²)k/m ]

 

擺的能量關係式

一樣從位能公式先寫下

E = K+ U = 0 + U = m g l ( 1 - cosθ₀)

故任何時刻

E = 1/2 m v² + m g l ( 1 - cosθ)

聯立前兩式得

1/2 m v² + m g l ( 1 - cosθ)  = m g l ( 1 - cosθ₀)

有

| v | = √[2 g l ( cosθ - cosθ₀) ]

 

阻尼諧振

有摩擦力或是其他能量消耗機制時，會造成減速而終歸靜止，此一效應叫阻尼。

例如，以下系統

 

本節探討與速度一次方呈正比的阻尼力

F_d = -b v

，則運動方程式變為

d²x/dt² + (b/m) dx/dt + (k/m) x = 0

 

小阻尼

Halliday 課本直接給出小阻尼時的答案

 

 

Bauer 課本從比較通解的形式出發，說明若阻尼效應不大，b < 2√(mk)，則其解變為

上解只適用於 b < 2√(mk)  ，才能使 ω'  根號內為正值。

驗證推導可見課文 Derivation 14.2

對小阻尼，把上兩項收入相位角，一樣得出

 

過阻尼

若阻尼較大，即 b > 2√(mk)，則有下列結果

 

 

 

臨界阻尼

b = 2√(mk) 的情形，不能沿用前兩種之任一種解法，

例題 14.6 比較 過阻尼與臨界阻尼結果

要讓最快系統回到平衡位置而沒有振盪，要臨界阻尼。如避震器、迴力門（否則等老半天門才關上）。

 

問題：記憶泡棉是那一種阻尼？為何被拿來作吸收衝擊材質（如高檔電腦內袋）？

 

阻尼振盪的能量損失

推導 14.3

想法：求能量對時間的變化率（因為已經不再是常數了）

Q 值

定義振盪的品質 Q 為，原總能除以每完成一個周期後的能量損失

Q = 2 π E  /  | ΔE |

Q 值越大，振盪品質越好。

受力諧振與共振

周期性外力出現在各種現象，如替小孩子推鞦韆、力學（部隊過吊橋）、光學、聲學（震破玻璃）、電磁學都有例子（如微波爐和收音機）。

周期性外力可用以下表示（若非三角函數形式也沒關係，周期性的函數永遠可以用三角函數的級數來展開，求完三角函數的結果再作疊加即可）

F(t) = F_d cos(ω_dt)

運動方程式成為

d²x/dt² + (k/m) x - (F_d/m) cos(ω_dt) = 0

其解具有以下的形式

x(t) = B sin(ω₀t) + C cos(ω₀t) + A_d cos(ω_dt)

課本說，B 與 C 可由初始條件定出，比較有趣的是 A_d

A_d = F_d  / [m( ω₀² - ω_d² )]

ω_d 接近ω₀ 時，振盪會越來越大至無限

 

真實情況，阻尼力要重新考慮進去

d²x/dt² + (b/m) dx/dt  + (k/m) x - (F_d/m) cos(ω_dt) = 0

而上式有穩態解 (steday state solution)

x(t) = A_γ cos(ω_dt - θ_γ)

其中振幅

A_γ= F_d  / { [m √[( ω₀² - ω_d² )² + 4 ω₀² ω_γ² ] }

就算是 ω₀ = ω_d 此振幅也不會無窮大，而是

F_d  / (2m ω₀ω_γ)

（記得其中 ω_γ 是 damping frequency ）

當外來的驅動頻率等於振盪體的自然頻率時，共振就會發生。科技的應用上以及工程的設計上，有時要避免，有時要利用，都是非常重要的。

討論：舉出生活中會遇到之共振共五種

力學、電學中之例子很多。（千禧橋）

 

相空間

如果不畫位置對時刻作圖，而是位置與速度一起作圖，就構成相空間。額外提一下，為什麼僅處理位置及速度就足夠，而不需要加速度或是加速度的變化率。原因牛頓運動方程式是二階微分方程式，僅需兩個條件就可以完全決定任意時刻之後的所有運動的資訊，如軌跡。

不施力情況下，無阻尼的振盪是封閉的橢圓，而有阻尼的則作螺旋收縮到原點最終停止，仿彿原點有一個吸引中心，叫吸子。

 

混沌

在特定的初始條件下，受力振盪的大擺幅棍狀擺會呈現混沌現象（對初始條件極端敏感）。

氣象預測會用到的方程式也具有對初始條件敏感的混沌特性，因此利用電腦計算長遠預測氣象在本質上是做不到的，只有近期的還可以。

有興趣者請見李老師的電腦模擬課：混沌單元

 

 

Normal Mode：簡諧運動重要的理由

如果數學問題是線性的（即不論前面有微分符號與否，每項出現的未知函數都是一次方的形式），則解的線性組合（像 a f(x) + b g(x) 這種形式）也是解。