平衡 與 彈性

 

 

平衡 (Equilibrium)

平衡

(動量) P = 常數、(角動量) L = 常數

 

靜態 (static) 平衡

P = 0、L = 0

 

穩定靜態平衡

小擾動後能回復到平衡位置

 

不穩定靜態平衡

小擾動能將平衡瓦解

 

靜態平衡分析

在工程上是很重要的

 

 

 

動態平衡

見課本例 Segway

 

 

 

 

平衡的條件

力的平衡

Fnet = 0

 

力矩的平衡

τnet = 0

 

若是靜態平衡,則還到再加上

線動量為零

P = 0

 

結構的穩定性

穩定性的定量條件

從力與位能的關係出發,力可以末自位能對位置一次微分,故力對位置的變化就來自位能對位置的二次微分。

Case 1. 穩定平衡

d2 U/dx2 > 0 

(向上開 拋物線)

Case 2. 不穩定平衡

d2 U/dx2 < 0

(向上開 拋物線)

Case 3. 自然平衡

d2 U/dx2 = 0

(平坦直線)

 

 

重心

重心的定義

作用於某個物體的重力 Fg,是等效於作用於單獨一個點,此點稱為物體的重心 (Center of Gravity, cog)

這堛熊幼蘇O指原本組成元素上的受力改移到重心,則原物體也不會有總合力與合力矩的不同,即物體的狀態不變。

 

重心與質心重合的條件

先決條件是重力場均勻(之前講過了),證明見課本,自己看

 

找重心的方法

一、吊繩法(為什麼會 work ? )

二、兩指移近法(為什麼會 work ? )

 

 

靜態平衡的一系列題例

Bauer

11.1(圖 11.6)翹翹板

(可自行試不同的假想軸心點)

11.2 (圖 11.7)舉啞鈴的二頭肌受力

11-3  (圖 11.8)疊木塊(最多伸多遠出去?)

下圖是真的還是假的?

SP 11.1(圖 11.9,10)雕塑擺放(會不會倒?)

11.4 (圖 11.12)梯上站人(地不能太滑)

 

課本給大家提示解題技巧,

 

 

Halliday

12-1(圖 12-4) 兩秤撐一樑

12-2(圖 12-5)梯子救火員

12-3 (圖 12-6)鋼索與有轉軸之吊桿

12-4 (圖 12-7)比薩斜塔

課本給大家列出解題技巧整理,共九點,可以看一下。

比較關鍵的是:

(一)畫出力圖,施力點與方向皆要明示

(二)寫下水平與垂直力之淨力為零的方程式

(三)選一個施力點作為力矩方程式的轉軸中心

 

討論

一、走鋼索表演特技的人,有拿長長的平衡桿與沒拿到底差在那堙H

二、單片的梯子是重的還是輕的穩?還是沒差?

 

 

 

 

未定結構 ( Indeterminate Structures)

未知數的個數比方程式的條件更多,稱為是 "不確定的" (indeterminate)。

例如,我們這埵酗T條方程式可用(平面作圖能處理的問題,有 x、y 分量的淨力都為零,以及物件不受淨力矩,共三個條件),如果有四個未知的力或力矩待求解(如四個桌腳的受力),就會變成 indeterminate 問題(三個腳的桌子反而可解)。

然而,真實世界中這些系統總是有某個力存在,那到底本節的方法中是少了什麼?這個問題的答案是,我們一開始就把物體假設成是剛體,沒有絲毫形變可能及彈性的。

課本提到,不穩的四腳餐桌,我們常會找個紙折一折來墊。如果是一頭大象來坐在桌面上,在桌子沒被坐垮的情況下,我們可以想像四支腳都是結實著地的,因為桌面自然會形變來因應。

要解決這個 "不確定性" 問題的求解,就要引入對物體 "彈性 (elasticity)" 的探討。

 

例題:12-6 三腳撐地的四腳桌

 

 

科學玩具:Theo Jansen 的 仿生獸

學研 大人的玩具 http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=qAVv0uM0UvI

http://www.ted.com/talks/theo_jansen_creates_new_creatures.html

http://www.youtube.com/watch?v=WcR7U2tuNoY

 

 

 

Bauer 課本之班級 下段跳過

 

彈性 (Elastisity)

凡是物質必有彈性(受力必形變),從微觀角度而言,物質由原子構成,而原子之間有彈簧相連是一個常見的模型。因此我們不必意外凡是就應該會有形變。

 

應力 (Stress)

每單位面積的形變力

 

應變 (Strain)

單位形變

應力 = 模數 × 應變

 

常見的三種應力應變

張應力、剪應力、流體應力,見課本圖 12-10。

 

彈性(線性)、變形到斷裂

圖 12-12 顯示了 應力-應變曲線 ( stress-starin curve )

大於 降伏強度 (yield strength) Sy 之後,會造成永久變形,見表 12-1

大於 極限強度 (ultimate strength) Sr 之後,會造成斷裂,見表 12-1

 

張應力 (tensile stress) 或 壓縮應力 (compressive stress)

F / A = E (ΔL / L )

其模數 E 叫楊氏係數 (Young's modulus) ,見表 12-1

ΔL / L 可以用 strain gage 來量,見圖 12-13

 

剪應力

F / A = G (Δx / L)

G 是 剪力模數 (shear modulus)

 

流體應力 (Hydraulic stress)

即壓力

p = B (ΔV / V)

B 是 塊體模量 (Bulk modulus)