轉動 (I):圓周運動

角速度、向心力、轉動慣量(慣量矩)、

 

圓周運動 與 轉動(章節區分之方式)

圓周運動偏重(質點)系統的運動方式

轉動更注重物體本身

以下混用

 

 

轉動現象埵釣S有慣性?(再次從慣性談起)

無外力下,怎樣的轉動會發生,怎樣的不會發生。

想想看例子、忽轉忽停?越轉越快?瞬間停止轉動?

再思考:無重力下轉棒球棒,它如何轉?

轉法一、以垂直於棒子的線作為軸心轉動

轉法二、以棒子作為軸心轉動

合著轉?

觀察結果:轉動似乎有其自然的中心(在那堙H)

 

歸納要點

一個物件的自然轉軸有好幾種方向

有轉動的那個軸不喜歡被改變方向(除非施力)

 

茶餘飯後討論

如果你要開發動畫遊戲,如何讓動作有真實感?(例:如何避免超不像的吊鋼絲)

另類教科書:遊戲物理學

 

課本話題:飛機在天上飛沒有路,它如何轉彎?

 

總之,我們要描述物體的運動,轉動是很重要的一部分。

 

 

如何描述轉動現象?

轉動的變數(參數):角度

一個剛性物體(即它的各組成元素之間相對位置永遠不變)

需要軸心

角位置、角位移、角速度

ω = d θ / dt

以右手定則來定角速度的方向(即反時鐘方向是負的)

角位移(及其他角相關量,如角速度)是向量嗎?

又來了一個有大小、有方向的東西。對角位移而言,答案是否定的

ω = d θ / dt

不是向量

示範(或見課文說明),主要是交換律不成立

回顧:何謂向量(大學版)

不是向量,那又怎樣?

角位移不適用向量加法,不能直接合成。

若不是向量,那為何要定 "方向"?

稍後會看見,它定義了 角動量

無限小角度轉動才是(可證明)

為什麼要證這個奇怪的東西?就算它是對的。

 

對於角速度而言

可視為向量,其方向定為平行於轉軸方向

http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity

 

 

角加速度

α = d ω / dt

特例:等角加速度

它與等加速度運動的公式形式一模一樣(因為數學公式形式相同)

 

 

向心加速度與向心力

 

牛頓力學的描述有沒有包含轉動現象

絕對有

 

如何用套用在轉動 (圓周運動)上?

從質點(沒外形故無轉動上的問題)的觀點切入,建立質點移動與繞某軸心轉動的對照公式。如下:

v = (dθ/dt) × r = ω × r

其中 v 是速度向量(為保留 r 來作軸心到質點的向量,故本單元中避免用 r 作位置向量),ω 是角速度

注意這是通式, 細節會在後面再更具體定義。

 

向心力

dv/dt = d(rω)/dt = (dr/dt) ω+ r (dω/dt)

若等角速運動 dω/dt = 0,則 dv/dt = a = v ω

見課本 9.4 節的分析,方向是指向圓心

 

線性運動與轉動的關係

角位置、角位移(角位置差)

繞著質心轉的點,其角位移可由孤長 s 及 質點與軸心距離 r

s = θ r (孤長等於角度乘上半徑)

 

質點之速度與角速度間的關係

ds/dt = r dθ/dt

v = ωr

值得注意的是,速度是向量,檢視我們定義角相關量的方向,歸納出以下的關係式

v = ω× r

題外話:v 是向量,而 ω 卻不是

 

動量與角動量?

p = mv = m ω r

動量與角動量 並不是可以直接對等的東西,自轉中

(本小節為進階議題,在下一章一起討論)

P = Sigma pi = Sigma mi vi = Sigma mi omega ri

想像一個旋轉中剛體互為軸心兩側的質點,動量互相抵消,但仍轉動得十分劇烈(或,質心動能為零),電風扇總動量是零,但我們還是不敢把手伸進去。

 

前章己經建之過的性貨是:質心動量系統的總動量,但卻沒有說質心的動能是系統的總動能。

質心的定義有位置的一次方,造成微分後的速度也是一次方,因此與速度一次方有關的動量可以由質心動量來等同代表;然而,動能是速度的平方,因此質心動能無法代表系統總動能。(延伸問題:質心動能不是總動能,之外還有什麼動能嗎?)

 

角動量

另:專有名詞中並沒有一種叫作 "角動能" 的物理量,與動能有關的叫做 "轉動動能"。

 

角加速度與加速度

a = α r

a = r × α(向量表示法)

常具特例:均勻圓周運動的向心加速度是 a = v2/r(why ?), 套用 v = ω r 的公式,就得到 a = ω2 r

注意有兩個分量,徑向及切線方向,切線方向

at = α r

其中α是角加速度 ( α = d ω / dt )

徑向

ar = ω2 r

 

課本圖 B 9.14 置轉盤越邊緣處之銅板越早被甩開

 

 

轉動 (II)

轉動動能、轉動慣量(慣量矩)、力矩

 

轉動動能:動能(平移、移動)與 轉動動能 的表示轉換

K = Σ (1/2) mi vi2

此時 v = ωr

K = Σ (1/2) mi vi2 = Σ (1/2) mi(ωri)2 = (1/2) ω2 [ Σmi ri2 ]

定義 轉動慣量

I = Σmi ri2

K = (1/2) I ω2

這是 剛體 的 "轉動動能",記得它完全可以由 (1/2) m v2 的基本形式得來。

 

 

轉動慣量

轉動慣量重要性

轉動慣量是代表轉動慣性的重要物理量

轉動慣量 的計算公式

I = Σmi ri2

對於連續體,則為

I = ∫r2 dm

一些常見均勻物體的轉動慣量,見表 H 10-2, 或 B 10-1

注意參考表中,"軸" 的選取都通過質心,難到旋轉軸一定要通過質心?

不是,外力造成的轉動可以選任何軸。(若是無外力情況下呢?)

所幸,不必每次重新計算轉動慣量,我們有平行軸定理

 

平行軸定理(再次提醒:定理是可證明的)

I = Icom + M h2

習題:證明平行軸定理(見課本)

 

一個剛體即便無外力(矩)下,也可以有多個(通過質心)轉動軸,這將會在角動量守恆單元來說明

 

 

力與力矩

再次由質點系統出發,從 F = ma 有 Ft = m at

定義力矩(及其等效表法)

τ= (r) (F sin (φ) ) = r Ft = (r sin(φ)) F

見課本圖 H 10-15 的圖解

 

 

牛頓第二定律的力矩形式

τnet = I α

上式可以再次透過質點系統證明(以下的力是合力)

Ft = m at

同乘轉動半徑 r ,依力矩之定義

τ = r Ft = r m at

= r m (α r) = mr2 α = I α

得證

 

 

功與轉動動能

我們之前有 功-動能定理,(課本複習 式 (10-49) ~ (10-51))對於轉動而言(課本講 "假設這是物體唯一改變的能量",

Δ K = Kf -Ki = W = ∫ τ d θ

由此可見,轉動作功為:

W = ∫ τ d θ

習題:證明 W = ∫ τ d θ

式 (10-52) ~ (10-55) 的證明見 (10-56) ~ (10-59),大家要看習慣

等力矩特例下

W = τ(θf - θi)

 

 

角動量的量子化

 

 

平移與轉動的各相關公式對應

見課本表 H 10-3

 

 

 

 

 

 

例題

B 9-4 離心機

B 9-5 地球自轉造成的向心加速度與地球重力加速度比較

B 9-6 CD Player

 

10-1 角位置與時間的關係

10-2 由角加速度求角速度與角位置

10-3 等角加速度的角度函數變化

10-4 減速過程求等角加速度

10-5 雲霄飛車頭痛症

10-6 轉動慣量

10-7 轉動慣量

10-8 轉動動能

10-9 滑輪

10-11 轉動動能

10-12 轉動運動方程式

 

習題

7

27

30

52

55

57

65

66

 

 

問題

待下一單元時一併討論