質點系統、延伸物體、質心座標

 

重心

重心是物理名詞,也被用於日常文學之中。例如 "生活失去重心"

它是你的支掙點所要放的地方有做到,就穩妥,否則就不穩甚至翻覆(如翻車或翻船)

可見重心一定扮演相當重要的角色

重心的標定法

把物件掛起來,鉛直線會通過重心,劃線,轉換個點再掛,再劃線,交點即是重心。

 

質點系統

什之是質點系統

多個質點構成的系統

 

質點系統可以定類似重心的東西嗎?

是的,而且將會很有用。

 

質心與重心是不是同一個點?

在均勻重力場下,質心才與重心重合,不均勻重力場中則未必。

 

質心(Center of Mass) 與 質心位置的意義

又叫質量中心,它是一個位置座標值,相當於在均勻重力場中的重心位置。

考慮以質量大小作為權重的平均位置

R = m1/(m1+m2) r1 + m2/(m1+m2) r2 = m1/M r1 + m2/M r2

MR = (m1+m2) R = (m1+m2) [ ] = m1r1 + m2r2

例 (1) m1 = m2 ,則 R = (r1+ r2)/2,合乎我們的預期。

例 (2) m1 >> m2, 則 R ≈ r2,也合乎我們的預期。

 

連續體的質心公式

僅是把加總換成積分,注意三個向量分量:

R = X ex + Y ey + Z ez

其中

X = (1/M) ∫ x ρ(r) d3v ; Y = (1/M) ∫ y ρ(r) d3v ; Z = (1/M) ∫ z ρ(r) d3v

 

質心速度

dR/dt = d/dt (m1r1 + m2r2) /M

兩邊再同再乘以 M

d (MR) / dt = p1 + p2

質心速度 乘上 總質量,竟然恰可代表 系統總動量,就好像質點的 速度 乘上 質量 就是它的 動量 那樣。

 

 

 

動量的定義 與 線動量守恆

之前曾提到尋找守恆量重要,在無外力的情況下,什麼不變?動量是守恆(不變)的。

直接來自牛頓第二運動定律 f = m a = m dv/dt = d(mv)/dt,如果我們定義 mv = P,叫作動量 (momentum) 也就是說,

f = dP/dt

(請注意這定義了動量與力之間的關係)

在無外力的情形下

dP/dt = 0

故我們有動量 P 不隨時間改變,(線)動量守恆。

 

在陸地上,快速行駛的沙石車之危險性,以及在海上,笨重的油輪一旦倒硨停船,都還要向前五公里才停得下來。這都是因為它們的動量很大。

 

 

質點系統整體的移動反映在質心位置的改變

因此整體移動的效果,全部跑引質心位置的移動上,又反質點之於質心其相對位置是不變的。

例:疊貨櫃、找重心 Example Bauer 8-1

 

質點系統的線動量守恆

動量在只有一個粒子時,重要性好像與速度差不多。但在質點系統堙A它抓到了系統的重要特徵 (請見課文詳細推導說明)

P = Σi=1n pi = Σi=1n mi v i

因為是總動量守恆而不是總速度守恆。

 

在質心座標糸來看碰撞,可以簡化複雜現象

碰撞

背翻式跳高

以前腹滾式

 

拋板手

見課本圖 Bauer 8-10

 

各種體積分計算