微積分基礎 與 直線運動
站在巨人的肩上
哥白尼
太陽為中心說
伽利略
大教堂內的吊燈
大小球那個先落地
克卜勒的定律
行星運行在橢圓軌道上
牛頓與劍橋三一學院
作業：牛頓的生平及事蹟報告
自然哲學家的頭銜
三一學院雷恩圖書館的 4 雕像
Devinity, Law, Physic (medicine), Mathematics （picture-1, picture-2）
質量與慣性
質量與重量的不同
一個質量是一公斤的物體，在地球表面有一公斤重，但在月球表面有 1/6 公斤重。
思考問答題：
一公斤的鐵與一公斤的棉花那個重？
一公斤重的鐵與一公斤重的棉花那個重？
鐵與棉花那個重？
鐵與棉花那個比重大？
慣性
緊急煞車人會向前衝。
用鎚子橫打疊起來的木塊堆的底部，使其不倒但越來越矮的玩具。
從斜面上滑下來的鋼珠滾很遠還不會停。
"打不倒翁鎚"
Slinky 走樓梯
影片：http://www.youtube.com/watch?v=qLEyYNz2wtk
影片：http://www.youtube.com/watch?v=aIu0sQIUQHs&NR=1
質點
為了探討上能單純化，且從經驗上也可行，我們可以把有質量的物體點作一個沒有體積的點，只是一個點就沒有轉動的問題。
（後面的章節會介紹質點系統，並引入質心的觀念，屆時我們可以解釋為何我們可以安令地作此減化，並對於有持定外型的物體，隨後也將會探討其轉動相關的行為，都不會推翻我們有時把物體當作的一個點所分析的相關結果）
質量的來源
當代物理的探索：（利用大型強子加速器）找尋希格斯粒子
直線的等速運動與變速運動
位置、時刻、距離、速度
位置與距離的關係
距離與時間、速度的關係
歐基里德的幾何
直尺與圓規，配合上公理（公設）的幾何
伽利略、牛頓的時空觀
慣性座標系
微積分
有沒有微積分差在那裏
誰發明了微積分（牛頓與萊布尼玆）
微分是探討變化量的數學
本來叫做流數
微分計算需要引入 "無窮小" 這個量
現代分析學（即微積分、高等微積分，等學門）使用
非標準分析學定義了無限小這個量，
極限
lim x → a f(x) = b，代表：
∀ε> 0 , ∃ δ > 0 ∋ ∀| x - a | <δ , | f(x) - b | < ε
δ、ε論法讓我們變聰明
人類本能認知，東西有大小
"無限小"，不易正確思考推理
因此有很多與微積分有關的詭論
連續
f(x) 在 x0 連續，代表：
∀ε> 0 , ∃ δ > 0 ∋ ∀| x - x0 | <δ , | f(x) - f(x0) | < ε
（圖形上的理解）
導數（曲線的斜率）
y'(x) ≡ dy/dx ≡ lim Δx → 0 [ f(x+Δx) - f(x) ] / Δx
實作技法
泰勒展開公式及其證明
詳見 此 連結
從實用的觀點，大家要記得以下的技巧：利用泰勒展開式展開待處理的函數（通常是 f(x) ），Δx 展開整理照作，待整理到最後，令 Δx 為零取不含 Δx 的結果。
例如，證明 d xn /dx = n x n-1
積分
在數學上，"積分" 即 "反導數"。
微分方程式
是一個方程式（有等號，有未知函數），有未知函數之導數的方程式。
我們要能夠解幾個最基本的微分方程式，包含 其通解會是指數函數、三角函數者 。
解析求解微積分問題
常見微分公式（標藍色者為普物層級會用到的）
多項式
d/dx xn = n xn-1
三角函數
d/dx sin(ax) = a cos(ax)
d/dx cos(ax) = -a sin(ax)
d/dx tan(ax) = a/[cos2(ax)]
d/dx cot(ax) = -a/[sin2(ax)]
指數對數
d/dx eax = a eax
d/dx ln(ax) = 1/x
d/dx ax = ax ln a
萊布尼玆律
d/dx (fg) = (df/dx) g + f (dg/dx)
鏈鎖律
dy/dx = (dy/du) (du/dx)
常見積分公式（標藍色者為普物層級會用到的）
多項式
∫ xn dx = [1/(n+1)] xn+1 + C
(for n=/= -1 )
∫ x-1 dx = ln |x| + C
∫ [1/(a2+x2)] dx = (1/a) tan-1(x/a) + C
∫ [1/√(a2 + x2)] dx = ln | x + √(a2 + x2) | + C
∫ [1/√(a2 - x2)] dx =
三角函數
∫ sin(ax) dx = - (1/a) cos(ax) + C
∫ cos(ax) dx = (1/a) sin(ax) + C
指數
∫eax dx = (1/a) eax + C
對數
int lnx = ?
變換變數
分部積分 (Integration by parts)
∫ udv = uv - ∫ vdu
維基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts
求解微分方程式
以通解代入式中，用條件定出待定常數。
數值求解微積分
數值微分
f'(xn) = (fn+1 - fn) / (xn+1 - xn)
數值積分
fn+1 = fn + f'n Δx
其中 Δx = xn+1 - xn
例題、習題、作業 與 討論
2-* 無空氣阻力時，在平地上最遠拋射積來自 45 度仰角（證明詳解見課本）。
助教示範推導：Ch2-8 再論等加速度運動
4-7 砲擊海盜船
5-4（學生自行閱讀）
5-5 光滑斜面加速度
5-6 雲霄飛車
7-2 斜向施力求作功
7-5 斜面拉上之重力作功
7-8 彈力作功
8-3 水滑梯求末速
討論
雨天過街走或跑？（假設身體為矩形，要考慮雨是直打或斜打）
磚磈上下綁繩拉斷那根？
作業
牛頓生平及其科學域就小傳（限手寫）
