微積分基礎 與 直線運動

 

站在巨人的肩上

哥白尼

太陽為中心說

http://www.bud.org.tw/museum/s_star14.htm

 

伽利略

大教堂內的吊燈

大小球那個先落地

http://www.bud.org.tw/museum/s_star12.htm

 

克卜勒的定律

行星運行在橢圓軌道上

http://episte.math.ntu.edu.tw/people/p_kepler/index.html

 

牛頓與劍橋三一學院

作業:牛頓的生平及事蹟報告

 

自然哲學家的頭銜

三一學院雷恩圖書館的 4 雕像

Devinity, Law, Physic (medicine), Mathematics (picture-1, picture-2

 

 

質量與慣性

質量與重量的不同

一個質量是一公斤的物體,在地球表面有一公斤重,但在月球表面有 1/6 公斤重。

思考問答題:

一公斤的鐵與一公斤的棉花那個重?

一公斤重的鐵與一公斤重的棉花那個重?

鐵與棉花那個重?

鐵與棉花那個比重大?

 

慣性

緊急煞車人會向前衝。

用鎚子橫打疊起來的木塊堆的底部,使其不倒但越來越矮的玩具。

從斜面上滑下來的鋼珠滾很遠還不會停。

"打不倒翁鎚"

Slinky 走樓梯


影片:http://www.youtube.com/watch?v=qLEyYNz2wtk
影片:http://www.youtube.com/watch?v=aIu0sQIUQHs&NR=1

 

質點

為了探討上能單純化,且從經驗上也可行,我們可以把有質量的物體點作一個沒有體積的點,只是一個點就沒有轉動的問題。

(後面的章節會介紹質點系統,並引入質心的觀念,屆時我們可以解釋為何我們可以安令地作此減化,並對於有持定外型的物體,隨後也將會探討其轉動相關的行為,都不會推翻我們有時把物體當作的一個點所分析的相關結果)

 

質量的來源

當代物理的探索:(利用大型強子加速器)找尋希格斯粒子

 

 

直線的等速運動與變速運動

位置、時刻、距離、速度

位置與距離的關係

距離與時間、速度的關係

 

歐基里德的幾何

直尺與圓規,配合上公理(公設)的幾何

 

伽利略、牛頓的時空觀

 

慣性座標系

 

 

微積分

有沒有微積分差在那

 

誰發明了微積分(牛頓與萊布尼玆)

 

微分是探討變化量的數學

本來叫做流數

微分計算需要引入 "無窮小" 這個量

現代分析學(即微積分、高等微積分,等學門)使用

非標準分析學定義了無限小這個量,

 

極限

lim x → a f(x) = b,代表:

∀ε> 0  , ∃ δ > 0 ∋ ∀| x - a | <δ , | f(x) - b | < ε

 

δ、ε論法讓我們變聰明

人類本能認知,東西有大小

"無限小",不易正確思考推理

因此有很多與微積分有關的詭論

 

連續

f(x) 在 x0 連續,代表:

∀ε> 0  , ∃ δ > 0 ∋ ∀| x - x0 | <δ , | f(x) - f(x0) | < ε

(圖形上的理解)

 

導數(曲線的斜率)

y'(x) ≡ dy/dx ≡ lim Δx → 0 [ f(x+Δx) - f(x) ] / Δx

 

實作技法

泰勒展開公式及其證明

詳見 此 連結

從實用的觀點,大家要記得以下的技巧:利用泰勒展開式展開待處理的函數(通常是 f(x) ),Δx 展開整理照作,待整理到最後,令 Δx 為零取不含 Δx 的結果。

例如,證明 d xn /dx = n x n-1

 

積分

在數學上,"積分" 即 "反導數"。

 

微分方程式

是一個方程式(有等號,有未知函數),有未知函數之導數的方程式。

我們要能夠解幾個最基本的微分方程式,包含 其通解會是指數函數、三角函數者 。

 

 

解析求解微積分問題

常見微分公式(標藍色者為普物層級會用到的)

多項式

d/dx xn = n xn-1

三角函數

d/dx sin(ax) = a cos(ax)

d/dx cos(ax) = -a sin(ax)

d/dx tan(ax) = a/[cos2(ax)]

d/dx cot(ax) = -a/[sin2(ax)]

指數對數

d/dx eax = a eax

d/dx ln(ax) = 1/x

d/dx ax = ax ln a

萊布尼玆律

d/dx (fg) = (df/dx) g + f (dg/dx)

鏈鎖律

dy/dx = (dy/du) (du/dx)

 

常見積分公式(標藍色者為普物層級會用到的)

多項式

∫ xn dx = [1/(n+1)] xn+1 + C

(for n=/= -1 )

∫ x-1 dx = ln |x| + C

∫ [1/(a2+x2)] dx = (1/a) tan-1(x/a) + C

∫ [1/√(a2 + x2)] dx = ln | x + √(a2 + x2) |  + C

∫ [1/√(a2 - x2)] dx =

 

三角函數

∫ sin(ax) dx = - (1/a) cos(ax) + C

∫ cos(ax) dx = (1/a) sin(ax) + C

指數

∫eax dx = (1/a) eax + C

對數

int lnx = ?

 

變換變數

 

分部積分 (Integration by parts)

∫ udv = uv - ∫ vdu

維基百科:http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

 

求解微分方程式

以通解代入式中,用條件定出待定常數。

數值求解微積分

數值微分

f'(xn) = (fn+1 - fn) / (xn+1 - xn)

 

數值積分

fn+1 = fn + f'n Δx

其中 Δx = xn+1 - xn

 

例題、習題、作業 與 討論

 

2-* 無空氣阻力時,在平地上最遠拋射積來自 45 度仰角(證明詳解見課本)。

 

助教示範推導:Ch2-8 再論等加速度運動

 

4-7 砲擊海盜船

5-4(學生自行閱讀)

5-5 光滑斜面加速度

5-6 雲霄飛車

7-2 斜向施力求作功

7-5 斜面拉上之重力作功

7-8 彈力作功

8-3 水滑梯求末速

 

討論

雨天過街走或跑?(假設身體為矩形,要考慮雨是直打或斜打)

磚磈上下綁繩拉斷那根?

作業

牛頓生平及其科學域就小傳(限手寫)

解釋這個影片 http://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw&NR=1