矩陣對角化的意涵
座標轉換複習
矩陣對角化的目的
對於 A v 這樣的量，（把 A v 想成 A v = b 或是單純把 A v 看成是一個向量）想進行一個座標轉換， 使得轉換後的 A' v' ， 這個 A' 是對角化的形式，暫稱 D'（如此一來，任何 A' x' 的運算都會非常方便。 另外，有些物理數學問題需要知道 A 的本徵值，則這些值正好會列在 A' 的對角線上。）
思路：第一步
用本徵向量來作為新基底，就會有上述好處，說明如下：
A 的本徵向量 vi 具有以下特性：
A vi = λi vi
在以 vi 為 基底的座標系中，各 vi 轉換到 e'i （藉由轉動矩陣 R，即 e'i = R vi ） ，原上式變成
A' e' i = λi e'i
注意在上式中，本徵值是純量，在座標轉換下完全不變。現在我們來看看，上式之 A' 是否真的為對角矩陣，注意 e'1 在新基底中，就是 [1, 0, 0]T，e'2 = [0, 1, 0]T、e'3 = [0, 0, 1]T：
a'11 a'12 a'13 a'21 a'22 a'23 a'31 a'32 a'33
a'11 a'12 a'13 a'21 a'22 a'23 a'31 a'32 a'33
a'11 a'12 a'13 a'21 a'22 a'23 a'31 a'32 a'33 從上三式的安排，可確定
的確是一個對角形式。
現在我們來看看，A' 與 A 的關係，亦即 A' 要如何由 A 得到
回憶我們
A' v' = R(A v)
但同時
A' v' = A' (R v)
綜合上下兩式可獲結論
A' v' = R(A v) = R(AR-1 R v) = (R A R-1) (R v)
這是我們所熟悉的相似轉換，這正是矩陣在座標轉換下必須遵守的的同步轉換規則。
最後，這裏對角化的 R 如何得到呢？
回憶前面的推導中
e'i = R vi
我們因此有
[ [e'1] [e'2] [e'3] ]3×3 = R [ [v1] [v2] [v3] ] 3×3
注意等號左邊剛好是單位矩陣，因此有
I = R [ [v1] [v2] [v3] ] 3×3
這意味著
[ [v1] [v2] [v3] ] 3×3 = R-1
也就是說
R = [ [v1] [v2] [v3] ]-1 3×3
總結
對角化一個矩陣，就是把矩陣轉到以它的本微向量所構成的軸的座標系。
因此第一步便是解本徵值問題， A x = λ x ，A 已知，x、λ未知。
得解後，以本徵向量 v1, v2, v3 合併為一個 3×3 矩陣，取其反矩陣，作為轉動矩陣 R。
對 A 進行相似轉換 R A R-1 後即得 D' = diag[ λ1, λ2, λ3 ] ，順序按 v1, v2, v3 的順序。