矩陣對角化的意涵

座標轉換複習

 

矩陣對角化的目的

對於 A v 這樣的量,(把 A v 想成 A v = b 或是單純把 A v 看成是一個向量)想進行一個座標轉換, 使得轉換後的 A' v' , 這個 A' 是對角化的形式,暫稱 D'(如此一來,任何 A' x' 的運算都會非常方便。 另外,有些物理數學問題需要知道 A 的本徵值,則這些值正好會列在 A' 的對角線上。)

思路:第一步

用本徵向量來作為新基底,就會有上述好處,說明如下:

A 的本徵向量 vi 具有以下特性:

A vi = λi vi

在以 vi 為 基底的座標系中,各 vi 轉換到 e'i (藉由轉動矩陣 R,即 e'i = R vi ) ,原上式變成

A' e' i = λi e'i

注意在上式中,本徵值是純量,在座標轉換下完全不變。現在我們來看看,上式之 A' 是否真的為對角矩陣,注意 e'1 在新基底中,就是 [1, 0, 0]T,e'2 = [0, 1, 0]T、e'3 = [0, 0, 1]T:

  a'11 a'12 a'13  
1
   
1
  a'21 a'22 a'23  
0
=
λ1
0
  a'31 a'32 a'33  
0
   
0

  a'11 a'12 a'13  
0
   
0
  a'21 a'22 a'23  
1
=
λ2
1
  a'31 a'32 a'33  
0
   
0

  a'11 a'12 a'13  
0
   
0
  a'21 a'22 a'23  
0
=
λ3
0
  a'31 a'32 a'33  
1
   
1

從上三式的安排,可確定

     
λ1
0
0
   
 
A
=
0
λ2
0
=
D'
     
0
0
λ3
   

的確是一個對角形式。

現在我們來看看,A' 與 A 的關係,亦即 A' 要如何由 A 得到

回憶我們

A' v' = R(A v)

但同時

A' v' = A' (R v)

綜合上下兩式可獲結論

A' v' = R(A v) = R(AR-1 R v) = (R A R-1) (R v)

這是我們所熟悉的相似轉換,這正是矩陣在座標轉換下必須遵守的的同步轉換規則。

最後,這媢翵中う R 如何得到呢?

回憶前面的推導中

e'i = R vi

我們因此有

[ [e'1] [e'2] [e'3] ]3×3 = R [ [v1] [v2] [v3] ] 3×3

注意等號左邊剛好是單位矩陣,因此有

I = R [ [v1] [v2] [v3] ] 3×3

這意味著

[ [v1] [v2] [v3] ] 3×3 = R-1

也就是說

R = [ [v1] [v2] [v3] ]-1 3×3

 

 

總結

對角化一個矩陣,就是把矩陣轉到以它的本微向量所構成的軸的座標系。

因此第一步便是解本徵值問題, A x = λ x ,A 已知,x、λ未知。

得解後,以本徵向量 v1, v2, v3 合併為一個 3×3 矩陣,取其反矩陣,作為轉動矩陣 R。

對 A 進行相似轉換 R A R-1 後即得 D' = diag[ λ1, λ2, λ3 ] ,順序按 v1, v2, v3 的順序。