矩陣基本運算與推導

基本語言、語法 (用元素的一般性表現來代表矩陣)

在不失一般性的情況下，以矩陣的第 i, j 元素 a_ij 來代表整個矩陣。

A = [A] = [a_ij] ( 等號之間所連結的是整個矩陣)

[A]_ij = a_ij ( 等號之間所連結的是矩陣的一個元素 ij )

很多 矩陣 相關的性質，需要用到元素之間的具體操作，因此常用到一般性元素表法來做矩陣運算。

 

基本知識

何謂矩陣相等

A = B

[A]_ij = [B]_ij ；即 a_ij = b_ij ∀ i, j

 

何謂矩陣相加

每個元素個別相加

[C]_ij = [A]_ij + [B]_ij

Prove that (AB)^T = B^TA^T

在不失一般性的情況下，以矩陣的一般性元素表示矩陣

[(AB)^T]_ij = [AB]_ji= Σ_k a_jk b_ki = Σ_k b_ki a_jk = Σ_k b^T_ik a^T_kj = Σ_k [B^T]_ik [A^T]_kj = [ B^T A^T]_ij

核對一般性元素 [M]_ij = [D]_ij 即表示矩陣 M = D，因此

(AB)^T = B^TA^T ，得證。

A, B are hermitian matrices, is that also true for A + B ?

已知 A⁺ = A^T*= A ， B⁺ = B^T*= B

[(A + B)⁺]_ij = [(A + B)^T*]_ij = [(A + B)^T]*_ij = [A + B]_ji* = a_ji*+ b_ji* = [A^T]_ij* + [B^T]_ij* = [A⁺]_ij + [B⁺]_ij = [A⁺ + B⁺]_ij

得證 (A + B)⁺ = A⁺ + B⁺ 。

問：要推導 [　]_ij 但最終只得到 b_ji ，怎辦？

答：b_ji = b^T_ij = [B^T]_ij ，即所求之矩陣等於 B^T。