如果我們可以接受 Slater determinant 是多電子系統總波函數的一個合理的近似形式，則它將滿足薛丁格方程式，也就是說我們可以把解代進去化簡整理，看 Slater determinant 裏的各單粒子波函數是滿足怎麼樣的一個方程式，事實上這就是有名的 Hartree-Fock 方程式。以下依 Hamiltonian 的內容各項之期望值作為開始，再從期望值變分得到解波函數之方程式。
動能項部分
動能算符 T = Σi=1N (-1/2) ▽i2
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1
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| Ψ(r1,r2,.....,rN) |
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√(N!)
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↑共 N! 項
Ek ＝ ＜Ψ|T|Ψ＞ ＝∫Ψ*(r1,r2,r3,.....,rN) [Σi=1N(-1/2)▽i2] Ψ(r1,r2,r3,.....,rN) dr1 dr2 … drN若各 φi 取的是正交基底函數，則大部分上式中的項都會等於零（如何看出？）
注意每一項的樣子，其基本形式為 :
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φi1*(r1)φi2*(r2).....φiN*(rN)
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φj1*(r1)φj2*(r2).....φjN*(rN) |
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| 來自 Ψ*(r1, r2, r3, ... , rN) |
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來自 Ψ(r1, r2,
r3, ..... ,rN)
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注意除了被 ▽k2 作用到的 φjh(rk) 之外 , 其他的各 φjm*(rl) 皆可調到左邊（▽2 的左邊）。
讓我們看一個不是 rk 的單變數積分，例如 rl ，它本身的積分就會非常簡單，即所有與 rl 有關的（其中 l≠k），為
∫d3rlφih*(rl)φjk(rl) = δih,jk
↑ ↑
來自Ψ* 來自Ψ那麼在眾多的動能期望值項中，有什麼特殊的項會留下來？在此介紹一個方便的看法 , 先看 ▽i2 所作用到的，跟 ri 有關項的部分
φh'*(ri)▽i2φh(ri) 若 h' ≠ h，則餘留有某個 φh*(rl) （其中 l ≠ i）在動能算符左邊（這是因為在同一個項中己有 φh'*(ri) 故 φh*(rl) 必定是由一個非 ri 的 rl 去填入） 。
想想看沒有微分到 ri 的項，做積分∫φh*(rl) φk(rl) d3rl 時，一定會有那些地方是因為 h ≠ k 之故而作了兩個互為正交函數的積分，故其值為零。也就是說在這樣的情況下無法讓每一個積分為 1，也就是說不管 ∫φh'*(ri)▽i2φh(ri) d3ri 是多少，對多個電子座標積分的整個項對期望值的貢獻是零。
從另一角度來看，會導致剩下的積分 ( 無微分的 ) 全部為 1 而不是零，就只會發生在其“排列”完全一致者
∫d3rlφk'*(rl)φk(rl) 其 k' = k
既然全部一致 , 則整個項剩下很多 1 乘上積分 ri者 , 只有一個可能
∫d3riφh'*(ri)▽i2φh(ri) 其中 h' = h
注意現在寫在積分裏頭的 ri 是 dummy 的指標。
現在，我們開始收集能留下來的項：對於某個特定的 h、▽i 組合，所有 h 以外的 index 要去作“排列”，故共有 (N-1)! 套，每套結果其實一樣都是 ∫d3riφh'*(ri)▽i2φh(ri) ，因此合起來是朝它乘上 (N-1)! 倍；另外考慮進去不同的 ▽i2 共有 N 個但其結果相同，因而再給出整數倍數 N；別忘記 h 的變化有從 h=1 到 h=N 是獨立的，則最後動能期望值的結果是：
Ek ＝ Σj=1N∫d3rφj(r)▽2φj(r)